Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 69

Um lingote de aço inoxidável, A I S I   316 , com um diâmetro de 150   m m e um comprimento de 500   m m emerge de um processo de tratamento térmico a 200 ° C e é colocado em um banho de óleo não agitado mantido a 20 ° C .

a Determine se é recomendável se posicionar o lingote dentro do banho com seu eixo central na horizontal ou na vertical com objetivo de diminuir o tempo de resfriamento.

( b ) Estime o tempo para o lingote resfriar até 30 ° C na posição preferida.

Passo 1

Bora lá galera, primeiramente precisamos identificar os dados do exercício certo?Note que temos como dados, o material (isso será importante mais pra frente) e as dimensões geométricas do lingote e suas respectivas condições em que se encontra, ou seja:

M a t e r i a l : A I S I   316 ,   D = 150   m m ,   L = 500   m m

Portanto, realizando um breve esboço, teremos que:

Segundo o enunciando, o nosso lingote emerge de um processo térmico a 200   ℃ , nós sabemos que esses processos térmicos ocorrem em temperaturas muito elevadas.

Portanto iremos considerar a temperatura de sua superfície a temperatura na qual é realizado o processo, até porque nossa superfície está diretamente exposta.

Além disso, é colocado em um banho de óleo mantido a 20 ℃ , uma prática bem comum em pós tratamento térmico superficial, em outras palavras é a temperatura do novo ambiente em que é inserido, ou seja, nosso T ∞ .

Passo 2

Temos que na questão ( a ) pede-se pra determinar de que maneira devemos posicionar o lingote, tendo como referência o seu eixo, com a finalidade de diminuir o tempo de resfriamento do mesmo.

Agora, sabendo disso precisamos realizar uma análise, e ela se inicia determinando a temperatura de filme T f , que é a “película” que se formará ao se ter uma superfície em contato com o óleo, logo temos:

T f = T s + T ∞ 2 = 200 + 20 2 = 110   ℃

Feiro isso, devemos recolher os dados do material do lingote, visto a temperatura em que se encontra de 110 + 273 = 383   K , utilizando a tabela A-1 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.).

ρ = 8238 k g m 3   ,   c p = 468 J K g ∙ K ,   k = 15 W m ∙ K

Note que tivemos que aproximar T f = 383 para T f = 400 K , pois na tabela em questão, não teríamos os valores que precisamos. Dentro da transferência de calor essas aproximações são aceitáveis.

Passo 3

Para esse exercício não devemos nos preocupar com a área da seção transversal do lingote e sim com sua área lateral relativo ao comprimento, visto que é a maior área...

A equação que iremos aplicar é a de convecção, quanto maior for a taxa de dissipação, mais rápido ocorrerá o resfriamento, ou seja, a equação abaixo:

q = h - A s ( T s - T ∞ )

Passo 4

Antes de iniciarmos os cálculos, note que há duas pegadinhas, pois quando consideramos o cilindro na posição vertical, ele é analisado como uma placa plana.

E na posição horizontal ele é considerado como cilindro longo, pois seu L > D .

Ou seja, levamos em conta somente o comprimento! Portanto, as respectivas equações serão:

V e r t i c a l :

N u - L = h - L L k = 0,825 + 0,387 R a L 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

R a L = g β T s - T ∞ L 3 v α

H o r i z o n t a l :

N u - D = h - D D k = 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Aliás precisamos calcular o Rayleigh, por se tratar de uma convecção natural, simplesmente por só apresentar um diferencial de temperatura 😊. Lembrando que é analisando considerando T f .

Passo 5

Agora podemos realizar os cálculos...

T f = 110 + 273 = 383   K

Iremos aproximar para T f = 380   K , para facilitar os cálculos.

Com auxílio da tabela A-5 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.):

β = 0,7 × 10 - 3   K - 1 ,   υ = 16,9 × 10 - 6 m 2 s   ,   α = 0,723 × 10 - 7 m 2 s ,   P r = 233 ,   k = 136 × 10 - 3 W m ∙ K

Portanto, para o vertical:

R a L = 9,81 m s 2 0,7 × 10 - 3   K - 1 200 - 20 ℃ 0,5 3 16,9 × 10 - 6 m 2 s 0,723 × 10 - 7 m 2 s = 1,26 × 10 11

N u - L = 783

h - L = N u - L k L = 783 136 × 10 - 3 W m ∙ K 0,5 = 212 W m 2 ∙ K

Passo 6

Portanto, para o horizontal:

R a L = 9,81 m s 2 0,7 × 10 - 3   K - 1 200 - 20 ℃ 0,15 3 16,9 × 10 - 6 m 2 s 0,723 × 10 - 7 m 2 s = 3,41 × 10 9

N u - D = 239

h - D = N u - D k D = 239 136 × 10 - 3 W m ∙ K 0,15 = 216 W m 2 ∙ K

Passo 7

Avaliando os coeficientes de convecção, podemos notar que posicionar o lingote horizontalmente trará mais resultados para diminuir o tempo de resfriamento.

Visto que o valor do coeficiente é maior, tendo maior influência na equação abaixo:

q = h - A s ( T s - T ∞ )

Passo 8

Para resolução da questão ( b ) , onde pede para estimarmos o tempo para o lingote resfriar até 30 ° C , na posição definida como horizontal devido a questão anterior, devemos encarar como um problema transiente.

Logo, será necessário calcular o Biot, para definirmos um meio de resolução.

B i = h - D L c k

Onde L C é o comprimento característico, iremos realizar aqui uma abordagem conservadora, onde L c = r correspondendo à máxima diferença espacial de temperatura.

Como h diminuirá à medida que o tarugo esfriar, precisamos estimar um valor médio para o coeficiente convectivo, para o processo de resfriamento de 200   °   C a 30   °   C .

B i = h - D r k = 108 W m 2 ∙ K 0,075 15 W m ∙ K = 0,54

Como B i ≫ 0,1 , devemos considerar os efeitos espaciais.

Passo 9

Portanto a formulação que devemos usar é:

θ s * = c 1 exp ⁡ - ζ 2 F o J o ( ζ ∙ r * )

θ s * c 1 J o ζ 1 ∙ r * = exp ⁡ - ζ 1 2 F o

ln ⁡ θ s * c 1 J o ζ 1 ∙ r * = - ζ 1 2 F o

F o = 1 - ζ 1 2 ln ⁡ θ s * c 1 J o ζ 1 ∙ r *

Onde temos que...

θ s * = T r 0 , t 0 - T ∞ T i - T ∞ = 30 - 20 200 - 20 = 1 18

Da tabela 5.1 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.):

ζ 1 = 1,0184

c 1 = 1,1345

Da tabela B-4 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.), considerando r * = 1

J o ζ 1 ∙ r * = J 0 1,0184 = 0,765198

Logo, temos que:

F o = - 1 1,0184 2 ln ⁡ 1 18 1,1345 0,765198

F o = 2,65

Passo 10

Agora, por fim...

F o = t α L c 2

t = F o L c 2 α

Onde α = 3,48 × 10 - 6 m 2 s da tabela A-1 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.). Portanto:

t = 2,65 0,075 2 3,48 × 10 - 6 m 2 s   = 4283   s

t ≈ 1,2   h r s

Resposta

( a ) Posicionar o lingote horizontalmente trará mais resultados para diminuir o tempo de resfriamento. Visto que seu coeficiente convectivo de h - D = 216 W m 2 ∙ K será maior.

( b ) O tempo para o lingote resfriar até 30 ° C na posição horizontal é:

t ≈ 1,2   h r s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere um ovo cozido quente em uma nave espacial preenchida com ar em pressão e temperatura atmosféricas o tempo todo. O ovo irá esfriar mais rapidamente ou mais lentamente quando a espaçonave esti
O casco de um navio afunda mais profundamente quando o navio estiver navegando em água doce ou no mar? Por quê?
Mostre que o coeficiente de expansão volumétrica de um gás ideal é β = 1 T , onde T é a temperatura absoluta.
A densidade da água pode ser correlacionada como ρ T =1000 - 0,0 736 T - 0 , 00355 T ² ² onde ρ e T estão em k g / m 3 e °C, respectivamente. Determine o coeficiente de expansão volumétrica a 70°C. Co
O que é força de empuxo? Compare a importância relativa da força de empuxo que age sobre um corpo imerso nesses meios: (a) ar, (b) água, (c) mercúrio e (d) câmara evacuada.