Ar quente sai de um forno a uma velocidade de 3   m / s através de um duto de aço de parede delgada com 0,15   m de diâmetro. O duto atravessa o porão de uma casa e sua superfície externa, sem isolamento térmico, fica exposta ao ar quiescente e a uma vizinhança, ambos a 0 ° C .

( a ) Em uma posição do duto na qual a temperatura média do ar é de 70 ° C , determine a perda de calor por unidade de comprimento do duto e a temperatura na parede do duto. A emissividade da superfície externa do duto é de 0,5 .

( b ) Se o duto for envolto por uma camada com 25   m m de espessura de isolante térmico magnésia 85 %   k   =   0,050 W m · K , que tem uma emissividade superficial de ε   =   0,60 , quais serão a temperatura na parede do duto, a temperatura superficial externa e a perda de calor por unidade de comprimento do duto?

Passo 1

Iremos iniciar o exercício identificando os valores que o enunciado nos trás e a física do problema. Mas antes abaixo está um esboço para melhor visualização do problema:

Primeira situação

Após aplicar o isolante térmico:

Segunda situação

Agora vamos lá, note que para esse exercício basta buscarmos os respectivos dados, para o fluido em que o duto se encontra, ou seja, para o ar. Porém temos dois ambientes, o interno e o externo.

Tabela A-4 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.).

A r   n o   i n t e r i o r   d o   d u t o   à   T m = 70 ℃ + 273 = 343 ℃ :

υ = 20,22 × 10 - 6 m 2 s ,   P r = 0,7 ,   k = 0,0295 W m ∙ K  

A r   n o   e x t e r i o r   T ∞ = 0 ℃ , note que no exterior precisamos considerar um T f , ao contrário do caso anterior. Porém não temos a temperatura da superfície do duto...

Bom, nesses casos, você pode estimar uma temperatura para análise, porém pra se ter uma melhor aproximação, temos que o fluxo de calor será do interior do tubo para o ambiente, e a temperatura interior não é muito alta...

Logo, iremos considerar uma média de T f = 300   K , praticamente temperatura ambiente, logo:

υ = 15,89 × 10 - 6 m 2 s ,   P r = 0,707 ,   k = 0,0263 W m ∙ K   ,   α = 22,5 × 10 - 6 m 2 s

β = 1 T f = 0,00333   K - 1

Passo 2

Ainda identificando a física do problema, nesse exercício teremos então dois casos, sem isolante térmico e com isolante térmico...

Ou seja, basicamente no primeiro caso teremos somente um fluxo de calor interno que será transferido para o ambiente por meio de convecção e radiação, de forma direta.

No segundo caso, por termos um isolante térmico, o mesmo fluxo terá primeiro uma convecção interna seguido de uma condução, e por fim, será transferido para o ambiente por meio de convecção e radiação.

Passo 3

Muito bem, agora podemos partir para a formulação. Mas antes disso notemos que há duas temperaturas muito importantes que não conhecemos, ou seja, T s ,   i e T s ,   o .

Logo, já precisamos ter em mente que iremos cair em uma equação que só será possível através de análise numérica, ou por tentativa e erro...

Passo 4

Vamos lá...

Para resolvermos a questão ( a ) , basta realizarmos o equacionamento levando em conta o circuito térmico.

Lembrando que não há condução, pois o enunciado nos diz que a parede é delgada, e podemos anular a condução, ou seja, ficará assim:

q c o n v , i ' = q c o n v , o ' + q ' r a d , o

h i π D i T m - T s , i = h o ( π D i ) T s , i - T ∞ + ε i σ π D i T s , i 4 - T v i z 4

Note que precisamos determinar os coeficientes de convecção, interno e externo.

Portanto, a partir daqui devemos identificar como se encontra o fluxo no meio e escolher uma correlação para o cálculo do número de Nusselt, e por fim, os coeficientes.

Passo 5

Determinando o fluxo interno:

R e D , i = u m D i υ = 3 m s × 0,15   m 20,22 × 10 - 6 m 2 s = 2,23 × 10 4

Como o R e D , i > 10.000 para escoamento interno, nosso fluxo é turbulento e a correlação correspondente que iremos utilizar é a de Dittus-Boelter, apesar que também poderia se utilizar a de colburn:

N u D , i = h i D i k = 0,023 R e D , i 4 5 P r n

Onde n = 0,3 para resfriamento, pois nosso duto não está exposto a nenhum meio de aquecimento.

Logo,

h i = 0,0295 W m ∙ K 0,15   m 0,023 2,23 × 10 4 4 5 0,7 0,3   = 12,2 W m 2 ∙ K

Passo 6

No meio externo, temos a presença de convecção natural, logo devemos calcular o Rayleigh:

R a D , i = g β T s , i - T ∞ D i 3 υ α =

R a D , i = 9,8 m s 2 0,0033 T s , i - T ∞   0,15 3 m 3 15,89 × 10 - 6 m 2 s × 22,5 × 10 - 6 m 2 s = 3,08 × 10 5 T s , i - T ∞

Note que nosso cilindro pode ser considerado como um cilindro longo, e muito provavelmente ele está na posição horizontal, logo a correlação será:

N u - D , o = h o - D o k = 0,60 + 0,387 R a D , i 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2  

Logo,

h o - = 0,175 0,60 + 2,64 T s , i - T ∞ 1 6 2

Passo 7

Muito bem, agora que determinamos os coeficientes de convecção, voltaremos a nossa equação inicial:

h i π D i T m - T s , i = h o T s , i - T ∞ + ε i σ π D i T s , i 4 - T v i z 4

Realizando a substituição:

12,2 343 - T s , i = 0,175 0,60 + 2,64 T s , i - 273 1 6 2 T s , i - 273 + 0,5 × 5,67 × 10 - 8 [ T s , i 4 - 273 4 ]

Como esperado, chegamos em uma equação que só será resolvida através de analise numérica ou tentativa e erro.

Logo, para terminamos o exercício irei mostrar o resultado:

T s , i = 314,7   K ≈ 41,7 ℃

Portanto, para sabermos a perda de calor por unidade de comprimento do duto, do nosso circuito térmico podemos simplesmente escolher o trecho:

q ' = q c o n v , o ' + q ' r a d , o = h o ( π D i ) T s , i - T ∞ + ε i σ π D i T s , i 4 - T v i z 4 = q c o n v , i '

q ' = q c o n v , i ' ≈ 12,2 π × 0,15 70 - 42 ≈ 163 W m

Note que todo calor que entra, é igual ao que sai.

Passo 8

Por fim, para o cálculo da questão ( b ) :

Note que, basta igualarmos o calor transferido por convecção interna ao calor transferido por condução. Visto que todo calor que entra é igual ao que sai.

q c o n v , i ' = q ' c o n d

h - i π D i T m - T s , i = 2 π k s T s , i - T s , o ln ⁡ D o D i  

E

q c o n d ' = q c o n v , o ' + q r a d , o '

2 π k s T s , i - T s , o ln ⁡ D o D i   = h - o π D o T s - T ∞ + ε o σ ( π D o ) ( T s , o 4 - T v i z 4 )

Note que, mais uma vez chegamos em uma equação que só será determinado por análise numérica, ou tentativa e erro. Porém agora teremos que determinar duas temperaturas desconhecidas.

Resposta

A resposta se encontra nos passos anteriores, por se tratar de uma questão especial.

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