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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 9

O número de Richardson, Ri, que correlaciona a produção de turbulência por empuxo, é uma combinação adimensional da gravidade, da massa específica do fluido, do gradiente local de velocidade ∂ u / ∂ z e do gradiente de massa específica ∂ ρ / ∂ z . Determine a forma do número de Richardson se ele é proporcional a g.

Passo 1

E aí, gente! Tudo bem? Vamos para mais um problema de combinação adimensional?

Primeiro de tudo, vamos definir as unidades básicas de cada um desses parâmetros que foram ditos no enunciado, beleza?

g = L t - 2

ρ = { M L - 3 }

∂ ρ ∂ z = M L 3 x 1 L = M L - 4

∂ u ∂ z = L T   x 1 L = T - 1

Ou seja, temos que R i = g d ρ a ∂ ρ ∂ z b ∂ u ∂ z c , note que deixamos g com um fator para ser calculado, mas como já sabemos que ele é proporcional a Ri, temos que d=1

Passo 2

Bem, como sabemos que Ri é um número adimensional, temos que as unidades básicas devem ter expoente, zero!

R i = L T - 2 d M L - 3 a M L - 4 b T - 1 c = M 0 L 0 T 0 t 0

Para M

a + b = 0

Para L:

- 3 a - 4 b + d = 0

Para T:

- 2 d - c = 0

Lembrando que d =1

Passo 3

Vamos escrever nosso sistema linear então, lembrando do valor de “d”, beleza?

a + b = 0

- 3 a - 4 b + d = 0

- 2 d - c = 0

ou seja

a + b = 0

- 3 a - 4 b + 1 = 0

- 2 - c = 0

Tiramos daqui que c =-2, a = -b logo...

a = - b

3 b - 4 b + 1 = 0 → - b + 1 = 0 → b = 1

a = - 1

Dessa forma podemos dizer que: R i = g d ρ a ∂ ρ ∂ z b ∂ u ∂ z c

R i = g ρ ∂ ρ ∂ z ∂ u ∂ z 2  

Resposta

R i = g ρ ∂ ρ ∂ z ∂ u ∂ z 2

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