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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 25

Óleo de motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro D = 50   m m e comprimento L = 25   m , cuja superfície é mantida em 150 ° C .

(a) Se a vazão de escoamento e a temperatura do óleo na entrada do tubo forem de 0,5   k g / s e 20 ° C , qual será a temperatura do óleo na saída do tubo, T m ,   s a i ? Qual é a taxa de transferência de calor total q no tubo?

Passo 1

Vamos começar esquematizando a situação. Temos um óleo escoando no interior de um tubo cilíndrico, de dimensões D = 50 × 10 - 3   m e L = 25   m . O óleo entra a uma temperatura de T m , e n t = 20 ° C e é aquecido pela parede do cilindro, que está a uma temperatura de T s = 150 ° C . A partir destas informações devemos determinar a temperatura de saída e a taxa de transferência de calor. Vamos lá?

Como primeiro passo, vamos considerar que a transferência de calor ocorre apenas por convecção. Então:

q = q c o n v

q = h - A s ∆ T m l

Lembrando que como a temperatura do óleo está variando durante o escoamento precisamos usar a média logarítmica das diferenças de temperatura ( ∆ T m l ).

Outra consideração que faremos é assumir que o processo ocorre sem perdas de energia. Ou seja, todo o calor transferido por convecção é direcionado para aumentar a temperatura do óleo. Então

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

E

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h - A s ∆ T m l

Vamos agora explicitar o termo ∆ T m l :

∆ T m l = ∆ T e n t - ∆ T s a i ln ⁡ ∆ T e n t ∆ T s a i

Em que ∆ T e n t e ∆ T s a i são as diferenças de temperatura entre a parede do tubo e o óleo na entrada do tubo e na saída do tubo, respectivamente. Ficamos então com:

∆ T m l = T s - T m ,   e n t - T s - T m ,   s a i ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = T s - T s + T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

Substituindo na relação de transferência de calor:

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h - A s T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

m ˙ c p = h - A s 1 ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i = h - A s m ˙ c p

T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i = exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T s - T m ,   s a i = T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T m ,   s a i = T s - T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

E chegamos a uma relação para a temperatura de saída do óleo.

Passo 2

Pela relação podemos ver que só resta encontrar o coeficiente convectivo médio e, então, poderemos determinar a temperatura de saída. O próximo passo é estimar uma temperatura de saída para o óleo, de forma a podermos usar as propriedades médias.

Vamos estimar que T m ,   s a i = 34 ° C , então a temperatura média é:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 20 ° C + 34 ° C 2

T - m = 27 ° C = 300   K

Nesta temperatura, de acordo com a tabela A-5 do apêndice A, as propriedades do óleo de motor são:

ϑ = 550 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 6400

k = 0,145   W / m K

c p = 1909   J / k g K

ρ = 884,1   k g / m 3

Agora temos as propriedades nosso próximo passo é calcular o número de Reynolds:

R e D = m ˙ D ρ A e s c ϑ

R e D = 4 m ˙ D ρ π D 2 ϑ

R e D = 4 m ˙ ρ π D ϑ

R e D = 4 × 0,5 884,1 × π × 50 × 10 - 3 × 550 × 10 - 6

R e D = 26,185

Como R e D < 2100 , o regime de escoamento é laminar.

Passo 3

Para escoamento laminar em duto cilíndrico:

N u - D = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - D k = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = k D 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = 0,145 50 × 10 - 3 × 3,66 + 0,0668 × 50 × 10 - 3 25 × 26,185 × 6400 1 + 0,04 × 50 × 10 - 3 25 × 26,185 × 6400 2 3

h - = 32,773   W / m 2 K

Agora que encontramos o coeficiente convectivo médio podemos utilizá-lo para encontrar a temperatura de saída:

T m ,   s a i = T s - T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T m ,   s a i = 150 - 150 - 20 exp ⁡ 32,773 × π × 50 × 10 - 3 × 25 0,5 × 1909

T m ,   s a i = 36,4 ° C

Valor bem próximo ao que estimamos. Caso o valor encontrado fosse muito diferente da nossa estimativa teríamos que estimar um novo valor para T m ,   s a i , determinar as propriedades médias e repetir todo o procedimento.

Continuando, ainda precisamos calcular a taxa de transferência de calor. Para isso vamos aplicar a equação:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

q = 0,5 × 1909 × 36,4 - 20

q = 15,7   k W

Resposta

(a) T m ,   s a i = 36,4 ° C

q = 15,7   k W .

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