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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 33

A seção de evaporação de uma bomba de calor está instalada no interior de um grande tanque de água, que é usado como uma fonte de calor durante o inverno. À medida que a energia é extraída da água, ela começa a congelar, criando um banho de água e gelo a 0 ° C , que pode ser usado para o resfriamento do ar durante o verão. Considere condições para o resfriamento durante o verão, nas quais o ar é passado pelo interior de um conjunto de tubos de cobre, cada um com diâmetro interno D = 50   m m , submerso no banho de água e gelo.

(a) Se o ar entra em cada tubo a uma temperatura média de T m ,   e n t = 24 ° C e a uma vazão de m ˙ = 0,01   k g / s , qual comprimento de tubo L fornecerá uma temperatura na saída T m ,   s a i = 14 ° C ? Com 10 tubos passando através de um tanque com volume total V = 10   m 3 , que contém inicialmente 80 % de gelo em volume, quanto tempo irá levar para fundir a totalidade do gelo? A massa específica e o calor latente de fusão do gelo são de 920   k g / m 3 e 3,34 × 10 5   J / k g , respectivamente.

Passo 1

Vamos começar esquematizando a nossa situação. Temos tubos imersos em um recipiente contendo água e gelo a T ∞ = 0 ° C e, ar escoa no interior dos tubos e é resfriado devido a evaporação do gelo no recipiente.

Como primeira tarefa do item (a) devemos determinar qual deve ser o comprimento de um dos tubos, sabendo que o ar entra a T m ,   e n t = 24 ° C e sai a T m ,   s a i = 14 ° C , a uma vazão de m ˙ = 0,01   k g / s .

Para isso, vamos considerar que só ocorre transferência de calor devido à convecção. Então:

q = q c o n v

q = h A s ∆ T m l

Também iremos considerar que não há perdas de calor no processo. Ou seja, toda a taxa de transferência de calor provém do resfriamento do ar. Podemos então dizer que:

q = m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i

E

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = h A s ∆ T m l

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = h π D L ∆ T m l

Abrindo o termo ∆ T m l :

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = h π D L ∆ T e n t - ∆ T s a i ln ⁡ ∆ T e n t ∆ T s a i

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = h π D L T m ,   e n t - T ∞ - T m ,   s a i - T ∞ ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = h π D L T m ,   e n t - T m ,   s a i ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

m ˙ c p = h π D L ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

L = m ˙ c p h π D × ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

E chegamos a uma expressão para o comprimento do tubo. Porém, podemos ver que ainda faltam os valores de c p e do coeficiente convectivo do ar. Então, vamos determiná-los antes de poder calcular o comprimento.

Passo 2

Para começar, vamos calcular a temperatura média do ar:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 24 + 14 2

T - m = 19 ° C = 292   K

De acordo com a tabela A-4 do apêndice A, as propriedades do ar nesta temperatura são:

c p = 1007   J / k g K

μ = 180,6 × 10 - 7   N s / m 2

k = 0,0257   W / m K

P r = 0,709

A partir das propriedades iremos determinar o coeficiente convectivo médio do ar. Para isso, o primeiro passo será calcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 0,01 π × 50 × 10 - 3 × 180,6 × 10 - 7

R e D = 14100,1

Como R e D > 2300 , o escoamento é turbulento.

Para escoamento em regime turbulento no interior de tubos cilíndricos:

N u D = h D k = 0,023 R e D 0,8 P r 0,3

h = k D × 0,023 R e D 0,8 P r 0,3

h = 0,0257 50 × 10 - 3 × 0,023 × 14100,1 0,8 × 0,709 0,3

h = 22,2   W / m K

Voltando para a expressão do comprimento do tubo:

L = m ˙ c p h π D × ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

L = 0,01 × 1007 22,2 × π × 50 × 10 - 3 × ln ⁡ 24 - 0 14 - 0

L = 1,55   m

Passo 3

Nosso próximo passo no item (a) será determinar qual é o tempo necessário para derreter todo o gelo do recipiente de V = 10   m 3 , sabendo que 80 % do tanque é gelo e, que há 10 tubos imersos.

Vamos começar calculando qual é o calor gerado pelo escoamento de ar dentro dos tubos. Como consideramos anteriormente, o calor de um tubo é dado por:

q = m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i

Então, para 10 tubos:

q = 10 × m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i

q = 10 × 0,01 × 1007 × 24 - 14

q = 1007   W

Outra consideração que já fizemos é que não há perdas de calor durante o processo. Então, todo o calor perdido pelo ar nos 10 tubos será convertida em energia para derreter a massa de gelo. Portanto,

q = q f u s ã o

q = m g e l o ∆ H f u s ã o t

q = ρ g e l o V g e l o ∆ H f u s ã o t

q = ρ g e l o 0,8 V ∆ H f u s ã o t

t = ρ g e l o 0,8 V ∆ H f u s ã o q

Substituindo os valores numéricos fornecidos pelo enunciado:

t = 920 × 0,8 × 10 × 3,34 × 10 5 1007

t = 2,4 × 10 6   s = 28,3   d i a s

Resposta

(a) L = 1,55   m ; t = 28,3   d i a s .

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