Enunciado

Um orifício com fundo plano e 6 mm de diâmetro é perfurado até uma profundidade de 24 mm em um material cinza e difuso, que tem uma emissividade de 0,8 e uma temperatura uniforme de 1000 K.

  1. Determine a potência radiante que deixa a abertura da cavidade.
  2. A emissividade efetiva ε e f da cavidade é definida como a razão entre a potência radiante que deixa a cavidade e a potência radiante de um corpo negro que tem a área da abertura da cavidade e a temperatura de suas superfícies internas. Calcule a emissividade efetiva da cavidade descrita anteriormente.
  3. Se a profundidade do orifício fosse aumentada, o valor ε e f aumentaria ou diminuiria? Qual é o limite de ε e f à medida que a profundidade do orifício aumenta?

Passo 1

Animados para seguir que eu sei, não é?

A letra (a) nos pede a potência radiante que deixa a abertura da cavidade, certo?

Para a transferência de calor por radiação podemos usar:

q 12 = σ T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Bom, a área da superfície 1 é composta pela base e pelas laterais, enquanto a superfície aberta 2 é igual a base:

A 1 = π D 2 4 + π D L = π 0,006 2 4 + π 0,006 0,024 = 4,807 × 10 - 4   m 2

A 2 = π D 2 4 = π 0,006 2 4 = 2,827 × 10 - 5   m 2

Para a superfície 2:

ε 2 = 1

T 2 = 0

F 2 1 = 1

E usando a reciprocidade:

A 1 F 12 = A 2 F 21

F 12 = A 2 A 1 F 21 = 2,827 × 10 - 5   m 2 4,807 × 10 - 4   m 2 = 0,05881

E sabendo que:

ε 1 = 0,8

T 1 = 100 0   K

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K

Agora tá fácil !! É só substituir:

q 12 = 5,67 × 10 - 8 1000 4 - 0 4 1 - 0,8 0,8 4,807 × 10 - 4   m 2 + 1 4,807 × 10 - 4 0,05881

q 12 = 1,580   W

Shoow de bola !! Bora pra (b) ?!

Passo 2

Na letra (b) nós queremos achar ε e f sabendo que é dada pela razão entre a potência radiante que deixa a cavidade e a potência radiante de um corpo negro que tem a área da abertura da cavidade e a temperatura de suas superfícies internas, ou seja:

ε e f = q 1 2 A 2 σ T 1 4

E agora é só substituir:

ε e f = 1,580 2,827 × 10 - 5 5,67 × 10 - 8 1000 4

ε e f = 0,986

E vamos pra última da questão!!

Passo 3

Bom, na letra c vamos dar uma olhada na equação do Passo 1:

q 12 = σ T 1 4 - 0 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 = σ T 1 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12

Lembrando da reciprocidade:

A 1 F 12 = A 2 F 21

E invertendo ambos:

1 A 1 F 12 = 1 A 2 F 21

Então:

q 12 = σ T 1 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 2 F 21 = σ T 1 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 2

Se aumentarmos L, consequentemente, vamos aumentar A 1 ! Se é assim o termo 1 - ε 1 ε 1 A 1 → 0 :

q 12 = σ T 1 4 1 A 2 = A 2 σ T 1 4

Na efetividade:

ε e f = A 2 σ T 1 4 A 2 σ T 1 4 = 1

Então, à medida que L aumenta, aumentamos também ε e f de modo que ela tenderia a 1

E é isso aí galerinhaaa !!

Resposta

  1. q 12 = 1,580   K
  2. ε e f = 0,986
  3. ε e f → 1
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