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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 121

Considere o Problema 9.93 com N = 4 finas folhas de alumínio (εf = 0,07), igualmente espaçadas ao longo do espaço de 50 mm, formando assim cinco espaços de ar individuais cada um com 10 mm de espessura. As superfícies quente e fria da cavidade são caracterizadas por ε = 0,85.

  1. Desprezando a condução ou a convecção no ar, determine o fluxo térmico através do sistema.
  2. Considerando a condução e desprezando a radiação, determine o fluxo térmico através do sistema. O efeito da variação das propriedades é importante. Calcule as propriedades do ar em cada espaço independentemente, com base na temperatura média no espaço.
  3. Considerando a condução e a radiação, determine o fluxo térmico através do sistema. Calcule as propriedades do ar em cada espaço independentemente.
  4. A convecção natural é desprezível na parte (c)? Explique a razão.

Passo 1

Shooow galerinhaa !! Esta é daquelas ein !!

Se preparem hashashash ...

Bom, vamos desenhar a situação:

A letra (a) nos pede para determinar o fluxo térmico através do sistema, supondo que só exista fluxo radiante!

Se é assim, o fluxo é igual para todos os espaçamentos:

q " r a d = q " r a d , A = q " r a d , B = q " r a d , C = q " r a d , D = q " r a d , E

Se nós precisamos achar o q " r a d precisamos achar todas as temperaturas intermediárias para aí sim achar o que nós queremos!

Vamos ver cada uma separadamente?

q " r a d ,   A = σ T 1 4 - T 2 4 1 ε 1   + 1 ε 2 - 1

q " r a d ,   B = σ T 2 4 - T 3 4 1 ε 2   + 1 ε 3 - 1

q " r a d ,   C = σ T 3 4 - T 4 4 1 ε 3   + 1 ε 4 - 1

q " r a d ,   D = σ T 4 4 - T 5 4 1 ε 4   + 1 ε 5 - 1

q " r a d ,   E = σ T 5 4 - T 6 4 1 ε 5   + 1 ε 6 - 1

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K

ε 1 = ε 6 = 0,85

ε 2 = ε 3 = ε 4 = ε 5 = 0,07

T 1 = 200 ° C + 273 = 473   K

T 6 = 50 ° C + 273 = 325   K

Substituindo:

q " r a d , = 5,67 × 10 - 8 473 4 - T 2 4 1 0,85   + 1 0,07 - 1

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - T 3 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1

q " r a d , = 5,67 × 10 - 8 T 3 4 - T 4 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 T 4 4 - T 5 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 T 5 4 - 325 4 1 0,07   + 1 0,85 - 1

Resolvendo tudo isso simultaneamente usando um software:

T 2 = 460,5   K

T 3 = 433,5   K

T 4 = 400,1   K

T 5 = 355,4   K

q " r a d = 19,89 W m 2

Finalizamos a letra (a) !!

Passo 2

Bom, na letra (b) nós temos apenas a condução !! Vamos seguir aqui o mesmo raciocínio da anterior:

q " c o n d = q " c o n d , A = q " c o n d , B = q " c o n d , C = q " c o n d , D = q " c o n d , E

Abrindo cada uma:

q " c o n d , A = k A L T 1 - T 2

q " c o n d , B = k B L T 2 - T 3

q " c o n d , C = k C L T 3 - T 4

q " c o n d , D = k D L T 4 - T 5

q " c o n d , E = k E L T 5 - T 6

Sabendo que:

L = 0,01   m

As constantes variam com a temperatura, então vamos ter que levar isto em conta !!

Vamos ver a fórmula para cada uma:

k A = 1,5207 × 10 - 11 . T 1 + T 2 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 1 + T 2 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 1 + T 2 2 - 0,003933

k B = 1,5207 × 10 - 11 . T 2 + T 3 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 2 + T 3 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 2 + T 3 2 - 0,003933

k C = 1,5207 × 10 - 11 . T 3 + T 4 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 3 + T 4 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 3 + T 4 2 - 0,003933

k D = 1,5207 × 10 - 11 . T 4 + T 5 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 4 + T 5 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 4 + T 5 2 - 0,003933

k E = 1,5207 × 10 - 11 . T 5 + T 6 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 5 + T 6 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 5 + T 6 2 - 0,003933

Substituindo nas fórmulas:

q " c o n d = 473 - T 2 0,01 1,5207 × 10 - 11 . 473 + T 2 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 473 + T 2 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 473 + T 2 2 - 0,003933

q " c o n d = T 2 - T 3 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 2 + T 3 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 2 + T 3 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 2 + T 3 2 - 0,003933

q " c o n d = T 3 - T 4 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 3 + T 4 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 3 + T 4 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 3 + T 4 2 - 0,003933

q " c o n d = T 4 - T 5 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 4 + T 5 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 4 + T 5 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 4 + T 5 2 - 0,003933

q " c o n d = T 5 - 325 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 5 + 325 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 5 + 325 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 5 + 325 2 - 0,003933

Resolvendo tudo isso simultaneamente usando um software:

T 2 = 446,5   K

T 3 = 428,6   K

T 4 = 389,1   K

T 5 = 357,4   K

q " c o n d = 100.6 W m 2

Finalizamos a letra (b) !!

Passo 3

Agora, na letra (c) nós teremos radiação e condução, ou seja, a soma do Passo 1 e 2:

q " t o t a l = q " r a d + q " c o n v

Substituindo:

q " t o t a l = 5,67 × 10 - 8 473 4 - T 2 4 1 0,85   + 1 0,07 - 1 + 473 - T 2 0,01 1,5207 × 10 - 11 . 473 + T 2 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 473 + T 2 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 473 + T 2 2 - 0,003933

q " t o t a l = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - T 3 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1 + T 2 - T 3 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 2 + T 3 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 2 + T 3 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 2 + T 3 2 - 0,003933

q " t o t a l = 5,67 × 10 - 8 T 3 4 - T 4 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1 + T 3 - T 4 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 3 + T 4 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 3 + T 4 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 3 + T 4 2 - 0,003933

q " t o t a l = 5,67 × 10 - 8 T 4 4 - T 5 4 1 0,07   + 1 0,07 - 1 + T 4 - T 5 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 4 + T 5 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 4 + T 5 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 4 + T 5 2 - 0,003933

q " t o t a l = 5,67 × 10 - 8 T 5 4 - 325 4 1 0,07   + 1 0,85 - 1 + T 5 - 325 0,01 1,5207 × 10 - 11 . T 5 + 325 2 3 - 4,8574 × 10 - 8 T 5 + 325 2 2 + 1,0184 × 10 - 4 T 5 + 325 2 - 0,003933

Resolvendo tudo isso simultaneamente usando um software:

T 2 = 450,2   K

T 3 = 421,9   K

T 4 = 391,2   K

T 5 = 357,4   K

q " t o t a l = 122,1 W m 2

Assim nós finalizamos mais uma letra !!

Passo 4

Na letra (d) nós queremos saber se a convecção natural é desprezível na parte (c) !

Para saber nós precisamos achar o valor de R a L para cada espaçamento:

R a L = g β T 1 - T 2 L 2 a v

As propriedades do ar dependem da temperatura média para cada espaçamento, ok? Para isso vamos usar as temperaturas que achamos no Passo 3:

T m e d i a = T 1 + T 2 2 = 473 + 450,2 2 = 461,1   K

Na tabela A – 4:

v = 33,81 × 10 - 6 m 2 s

a = 49,3 1 × 10 - 6 m 2 s

β = 1 461,1   K

Então, para este primeiro espaçamento:

R a L , A = 9,81 β 473 - 450,2 0,1 2 33,81 × 10 - 6 49,31 × 10 - 6 = 289,2

Repetindo o mesmo procedimento para os demais:

R a L , B = 463

R a L , C = 690

R a L , D = 1104

R a L , E = 1747

O maior número de Rayleigh é um pouco maior que o valor crítico de 1703. Portanto, a convecção natural nas lacunas é insignificante.

Shoow de booolas !!

Resposta

  1. q " r a d = 19,89 W m 2
  2. q " c o n s = 100 , 6 W m 2
  3. q " t o t a l = 122,1 W m 2
  4. Insignificante.
Ver Outros Exercícios desse livro

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