PA11.1 – A altura de carga de uma bomba para aquário pequena é dada pelo fabricante como uma função da vazão volumétrica, listada a seguir:

Qual é a vazão máxima que pode ser atingida se você utiliza essa bomba para bombear água de um reservatório inferior para outro superior como mostra a Figura PA11.1? Nota: O tubo é liso com um diâmetro interno de 5 mm e um comprimento total de 29,8 m. A água está à temperatura e à pressão ambiente. As perdas localizadas no sistema podem ser desprezadas.

Determinando a curva do sistema.

A curva do sistema é através da Eq. de Bernoulli

A Eq. de Bernoulli, de forma simplificada, é referente a um balanço de energia mecânica entre dois pontos, que leva em consideração as variações de energia cinética, potencial e energia de pressão, além também da perda de energia por atrito. No volume de controle da figura PA11.1 vamos ter uma bomba também, uma máquina de fluxo, então relembrando da equação de Bernoulli aplicada para processos com máquinas de fluxo, também temos um termo referente a energia da bomba. A expressão é

Onde,

-HBS é a altura de carga da bomba para o sistema, é a energia que a bomba deve fornecer ao sistema;

-Δp é a variação de pressão do sistema;

-ΔV2 é a variação de energia cinética do sistema;

-Δz é a variação de energia potencial do sistema;

-hLT é a perda de carga total do sistema, devido ao atrito do fluido com a tubulação e ao atrito com os acessórios;

-ρ é a densidade do fluido;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2.

Para hLT

Onde,

-hp e hac são a perda de carga devido ao atrito do fluido com a tubulação e a perda de carga devido ao atrito com os acessórios, respectivamente;

Aplicando o balanço de energia mecânica (Eq de Bernoulli) entre o reservatório de baixo (1) e o reservatório de cima (2)

Onde,

-p1 e p2 são a pressão no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;

-V1 e V2 são a velocidade do fluido no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;

-z1 e z2 são a altura no nível no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;

-hp é a perda de carga por atrito do fluido na tubulação;

-ρ é a densidade da água, ρ=1000 kg/m3;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2.

Na Eq1 não foi adicionado o termo hac, pois foi pedido para desprezar as perdas localizadas, isto é, as perdas com acessórios.

Isolando HBS

Vamos agora analisar a figura PA11.1 lá em cima para ver quem é quem da equação de Bernoulli.

Analisando o esquema da figura PA11.1 lá em cima, vemos que

Onde, patm é a pressão atmosférica que você pode considerar para as duas pressões, pois os dois reservatórios estão abertos para a atmosfera.

Também vemos que as velocidades em 1 e 2 são referentes as velocidades de nível de fluido nos reservatórios, e como estes são de grande dimensão (D muito alto), então as velocidades são muito pequenas. Assim,

Já para as alturas z1 e z2, temos pela figura que

A Eq. da altura de carga da bomba, HBomba agora é

Para a perda de carga podemos usar a equação de Darcy-Weisbach

Onde,

-hp é a perda de carga por atrito na tubulação;

-f é o fator de atrito;

-LT é o comprimento total da tubulação;

-DT é o diâmetro interno da tubulação;

-V é a velocidade do fluido na tubulação;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/2.

Substituindo a expressão de Darcy-Weisbach na Eq2

Para expressarmos em termos de vazão, podemos usar a seguinte relação entre vazão e velocidade de escoamento

Onde,

-Q é a vazão volumétrica;

-A é a área da seção transversal do tubo;

-V é a velocidade do fluido

A área de seção transversal é função do diâmetro da tubulação

Assim,

Isolando V

Substituindo na Eq3

Vamos agora determinar o fator de atrito f.

Para isso, vamos primeiro calcular o nº de Reynolds para o maior valor de vazão dos dados da tabela, de modo a sabermos qual é o padrão de escoamento do fluido (água)

Lembrando que os padrões de escoamento temos escoamento laminar e turbulento, cujo o valor de Re define qual é o padrão.

Equação de Reynolds

Onde,

-Re é o número de Reynolds;

-ρ é a densidade do fluido (água), ρ=998 kg/m3 para a água;

-DT é o diâmetro da tubulação;

-Q é a vazão do fluido;

-μ é a viscosidade dinâmica do fluido (água), μ=0,001 kg/m.s para a água;

Pela tabela do enunciado, Qmaior=5x10-6 m3/s. calculando Re para esse valor

Como Re

Para escoamento laminar, podemos determinar o fator de atrito, f, usando a seguinte relação matemática, (tirada do diagrama de Moody)

Substituindo na Eq4

Aplicando os valores já conhecidos

Vamos agora determinar a curva característica da bomba.

Utilize o EXCEL, ou outra ferramenta gráfica para plotar os dados e pegar a Eq. que representa o comportamento.

O gráfico abaixo apresenta a curva da bomba para os dados da tabela do enunciado e também a equação da curva.

Pelo gráfico acima, onde x=Q e y=H

Igualando as equações da curva da bomba e da curva do sistema

Basta agora, você resolver essa equação do 2º grau que você achará a máxima vazão permita neste processo de bombeamento para que não ocorra cavitação da bomba.

Lembrando de Bhaskara,

Assim,

A solução para a Eq6 é

Portanto, a vazão máxima permitida para esse sistema de bombeamento com essa bomba é

Forma alternativa:

Uma forma alternativa é você plotar as duas curvas simultaneamente e pegar o ponto onde elas se interceptam e verificar o valor de Q nesse ponto.

A curva da bomba você plota pelos dados da tabela e a do sistema você utiliza a Eq5 para plotar a curva.

O gráfico abaixo apresenta as duas curvas

Pelo gráfico você pode verificar que no ponto onde as duas curvas se interceptam, o valor de Q é aproximadamente 0,000001=1,0x10-6, como foi encontrado algebricamente.