102 – Uma TEEH Americana de múltiplas pás de 1,83 m de diâmetro é usada para bombear água para uma altura de 3,05 m através de um tubo de ferro fundido de 76 mm de diâmetro. Se os ventos forem de 19,3 km/h, calcule a vazão de água em l/s.

Vamos primeiro calcular a potência máxima gerada pela turbina eólica.

Podemos calcular essa Pmáx pelo coeficiente adimensional de potência.

Pelo coeficiente de potência ótimo, CP,max, para uma turbina eólica do tipo TEEH Americana, cuja expressão e valor no ponto ótimo são

Onde,

-PTE,máx é a potência máxima gerada pela turbina eólica;

-ρar é a densidade do ar, ρar= 1,20kg/m3;

-A é a área da hélice;

-Vv é a velocidade do vento;

O valor de CP,max foi tirado na figura 11.32 do White, cap. 11, pág 808, considerando uma turbina do tipo TEEV Americana de múltiplas pás.

Também por essa mesma tabela, temos que no ponto ótimo, o valor da razão de velocidades é

Onde,

-ω é a rotação do rotor da turbina eólica;

-r é o raio da hélice da turbina (r=DTE/2);

-Vv é a velocidade do vento.

Sendo a área da hélice a área que ele percorre em uma rotação, uma rotação circunferencial, assim

Assim,

Isolando Pmáx

Convertendo a VV para m/s

Aplicando valores

Vamos estipular uma eficiência para a bomba.

Potência de eixo requerida pela bomba, Pe,Bomba.

É a potência necessária que deve-se fornecer a bomba para ela funcionar dentro dos parâmetros operacionais estabelecidos. Ela pode ser determinada pela expressão do rendimento da bomba, cuja equação é

Onde,

-ηBomba é o rendimento da bomba;

-Ph é a potência hidráulica, potência fornecida ao fluido pela bomba;

-Pe,Bomba é a potência de eixo que é requerida pela bomba;

Vamos discutir um pouco sobre o rendimento.

O rendimento da bomba é a quantidade de potência hidráulica que o equipamento está fornecendo para o fluido, Ph, dividido pela quantidade de potência de eixo fornecida para a bomba.

O rendimento da bomba pode ser entendido também da seguinte forma: é a quantidade percentual de energia que o fluido recebeu da bomba da quantidade total que foi fornecida para a bomba em potência de eixo.

Neste exercício, a potência de eixo requerida pela bomba, Pe,Bomba, ou seja, a quantidade de potência que a bomba precisa receber, é exatamente a potência máxima da turbina gerada, que é a potência que vai alimentar a bomba, assim

Logo,

Vamos agora revisar Ph

Ph como foi dito, é a potência hidráulica disponível, e esta representa a quantidade total de energia que o fluido recebeu da bomba.

Essa variável, lembrando então, é função das propriedades do fluido e da vazão do fluido. A expressão para ela é a seguinte

Onde,

-ρágua é a massa especifica (densidade) do fluido (água), que vale 998kg/m3 para a água;

-g é constante da gravidade, g=9,81 m/s2;

-Q é a vazão do fluido;

-HBomba é a altura de carga da bomba, energia que a bomba deve fornecer ao fluido;

Pegando a expressão do rendimento da bomba

Substituindo,

O que precisamos achar é a vazão volumétrica, Q, então isolando Q

O que falta agora é HBomba que é a altura de carga que a bomba deve fornecer ao sistema, assim precisaremos aplicar um balanço de energia mecânica para encontrar seu valor

Lembrando que um balanço de energia mecânica nada mais é do que aplicar a eq. de Bernoulli.

Relembrando da equação de Bernoulli aplicada para processos com máquinas de fluxo, cuja expressão é

Onde,

- HBomba é a altura de carga da bomba, que é a energia que a bomba deve fornecer ao fluido;

-Δp é a variação de pressão do sistema;

-ΔV2 é a variação de energia cinética do sistema;

-Δz é a variação de energia potencial do sistema, variação de altura;

-hLT é a perda de carga total do sistema, devido ao atrito do fluido com a tubulação e ao atrito com os acessórios;

-ρ é a densidade do fluido;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2.

Para hLT

Onde,

-hp e hac são a perda de carga devido ao atrito do fluido com a tubulação e a perda de carga devido ao atrito com os acessórios, respectivamente;

Para simplificar a equação de Bernoulli, você pode desprezar alguns termos, tal como a variação de energia cinética, a variação de pressão e a perda de carga localizada, assim a eq. de Bernoulli é simplificada para

Pela equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga:

Onde,

-hp é a perda de carga por atrito na tubulação;

-f é o fator de atrito;

-LT é o comprimento total da tubulação;

-DT é o diâmetro interno da tubulação;

-V é a velocidade do fluido na tubulação;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/2.

Para expressarmos em termos de vazão, podemos usar a seguinte relação entre vazão e velocidade de escoamento.

Onde,

-Q é a vazão volumétrica;

-AT é a área da seção transversal do tubo;

-V é a velocidade do fluido.

A área de seção transversal é função do diâmetro da tubulação

Assim,

Isolando V

Substituindo na Eq3

Substituindo na Eq2

Pegando a Eq1

Abrindo o parêntese

Calculando o que já conhecemos

Isolando um dos termos de Q

Para acharmos Q, precisaremos do fator de atrito, f.

Vamos, então, determinar o fator de atrito f.

O fator de atrito depende de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa, ε/D.

Para um tubo de ferro fundido, a rugosidade, ε, deste material vale

Lembrando que a Eq. de Reynolds é:

Onde,

-Re é o número de Reynolds;

-ρágua é a densidade do fluido (água), 998 kg/m3 para a água;

-DT é o diâmetro da tubulação, pelo problema 6.62, DT=76mm=0,076m;

-Q é a vazão do fluido;

-μ é a viscosidade dinâmica do fluido (água), μ=0,001 kg/m.s para a água;

Calculando o que já conhecemos

Você pode ver que Re precisa de Q, mas não temos Q, que é o que queremos achar. Então, Re depende de Q, f depende de Re e Q depende de f, não podemos dessa forma determinar diretamente o valor de nenhum nem outro. O que temos que fazer é usar um método iterativo para encontrar a solução desse problema. Lembrando que um método iterativo você precisa dar um chute inicial para alguma das variáveis e a partir desse chute inicial você começa a calcular com as equações, pegando os valores calculados e atualizando o chute e recalculando novamente até que seja atingido uma convergência. Essa convergência você pode verificar da seguinte maneira: pegue o valor anterior calculado e diminua pelo novo valor calculado, estipule uma tolerância, ai quando essa diferença for menor que a tolerância você chegou em uma convergência.

Segue abaixo um passo a passo para você seguir o método iterativo que foi feito:

• Algoritmo Resolução pelo método iterativo:

I – chute inicial para f (você pode olhar no diagrama de Moody a faixa de valores de f);

II – calcula Q pela Eq4

Você vai precisar chutar um valor inicial para Q também!!!

Expressão iterativa para Q

III – calcula Re pela equação

IV – determina novo valor de f usando diagrama de Moody ou a Eq. de Churchill:

V – calcula novo valor de Q pela mesma equação;

VI – calcular a diferença percentual (erro) entre o novo valor de Q com o valor anterior pela expressão

VII – verificar se erro é menor que a tolerância (estipular um valor da tolerância, um valor muito pequeno, tipo uns 10-5%);

VIII – se o erro for maior que a tolerância, você volta a etapa III para uma nova iteração; (você vai continuar as iterações até que o erro seja menor que a tolerância)

Se você fizer este método iterativo à mão, vai levar algum trabalho. A melhor opção é usar um programa computacional, como o MATLAB, ou Python, ou até mesmo o EXCEL.

Para resolver eu usei o EXCEL, este é o mais simples. Abaixo o print do método no EXCEL.

Pela figura acima, obteve-se um valor convergido para a vazão na iteração principal 2 com um erro percentual de 0,000086%. A vazão é cerca de:

Uma observação que devo te fazer é que nesse exercício foi preciso fazer iterações dentro de uma outra iteração, isto é, as subiterações, pois não foi possível explicitar uma equação para Q, e também porque usei o EXCEL para resolver o método. Com algum outro software mais sofisticado, ou até mesmo com o EXCEL tendo habilidades em programação no EXCEL, você conseguiria resolver de uma maneira bem mais simples e rápida. Foi usado o EXCEL, pois este é um software de mais fácil acesso.

Convertendo a vazão para L/s: