23 - Uma pessoa média gera calor a uma taxa de 70   W enquanto descansa em um quarto a 2 0   ℃ . Supondo que um quarto desse calor seja perdido da cabeça e considerando a emissividade da pele como 0,9 , determine a temperatura média da superfície da cabeça quando ela não estiver coberta. A cabeça pode ser aproximada como uma esfera de 30   c m de diâmetro, e as superfícies internas da sala podem ser consideradas na temperatura ambiente.

Passo 1

Usando a abordagem de tentativa e erro, a temperatura da superfície deve ser assumida inicialmente. O número de Rayleigh e o número de Nusselt dependem apenas da temperatura da superfície.

Portanto, vamos usar a temperatura da superfície como 3 0   ℃

Temos que a temperatura de filme é:

T f = T s + T ∞ 2

= 3 0 + 2 0 2

T f = 2 5   ℃

Portanto, temos as seguintes propriedades do ar para a pressão de 1   a t m e T f = 2 5   ℃ .

A Condutividade térmica é:

k = 0,02 514   W m ⋅ ℃

A Viscosidade cinemática é:

v = 1 , 516 × 10 - 5   m 2 s

O número Prandtl é:

P r = 0,7 296

A gravidade é:

g = 9,81   m / s 2

Passo 2

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 2 5 + 273

β = 0,003 2557   K - 1

Encontre o comprimento da característica.

L c = D

= 0 , 3   m

Usando os valores acima, o número Rayleigh se torna:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v 2 P r

= 9,81 × 0,0032557 30 - 2 0 0 , 3 3 1,516 × 10 - 5 2 × ( 0,7296 )

= 94054954,02

Passo 3

Usando o número de Rayleigh, calcule  N u (número de Nusselt):

N u = 2 + 0,589 R a 0,25 1 + 0,469 P r 9 16 4 / 9

= 2 + 0,589 ( 94054954,02 ) 0,25 1 + 0,469 0,7 296 9 16 4 / 9

N u = 4 6 , 89

Passo 4

O coeficiente de transferência de calor por convecção é determinado a partir da equação dada por:

N u = h D k

Reescreva para achar h :

h = N u × k D

= 46,89 × 0,02514 0 , 3

= 3 , 93   W m 2 ⋅ ℃

Passo 5

Um quarto do calor total é perdido na cabeça.

Calcule o calor perdido da cabeça.

Q ˙ = 1 4 × Q ˙

= 1 4 × 70   W

= 17,5   W

Escreva a equação geral da perda de calor da cabeça devido à convecção e radiação.

Q ˙ = h A s T s - T ∞ + ε A s σ ( T s 4 - T ∞ 4 )

17,5 = 3,88 ⋅ π 0,3 2 T s + 273 - 2 0 + 273 + 0,9 ⋅ π 0,3 2 ( 5,67 × 10 - 8 ) ( T s + 273 4 - 2 0 + 273 4 )

17,5 = 1,097 T s + 273 - 293 + 1,4428 × 10 - 08 ( T s + 273 4 - 27 3 4 )

17,5 = 1,097 T s + 299,481 - 354,331 + 1,44281 × 10 - 8 T s 4 + 80,141 - 157,042

T s ≅ 28   ℃

Assim, o valor obtido da temperatura da superfície é aproximadamente igual ao valor assumido da temperatura da superfície.

Portanto, a temperatura média da superfície da cabeça quando não está coberta é 28   ℃ .

Resposta

T s = 28   ℃

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