PP11.1 – Para minimizar os custos com eletricidade, um sistema de abastecimento de água de uma cidade utiliza escoamento por gravidade de cinco tanques grandes de armazenagem durante o dia e depois enche novamente esses tanques das 22h às 6h, beneficiando-se da taxa noturna mais barata de R$ 0,07 por kWh. O reabastecimento total necessário a cada noite varia de 1.893 a 7.571 m3, com não mais do que 1.893 m3 para cada tanque. As elevações dos tanques variam de 12,2 m a 30,5 m. Uma única bomba com rotação constante, bombeando de um grande lençol freático para os tanques e com válvulas instaladas em cinco linhas de abastecimento diferentes, de ferro fundido, faz esse serviço de reabastecimento. As distâncias da bomba aos cinco tanques variam mais ou menos uniformemente de 1,6 km a 4,8 km. Cada linha tem em média um cotovelo a cada 30,5 m e quatro válvulas borboleta que podem ser controladas em qualquer ângulo desejado. Selecione uma família de bombas adequada de um dos seis conjuntos dados neste capítulo: Figuras 11.8, P11.24 e P11.34 mais os Problemas P11.28, P11.35 e P11.38. Admita semelhança ideal (sem efeitos do número de Reynolds e da rugosidade da bomba). O objetivo é determinar tamanhos de bomba e de tubulação que resultem em um custo mínimo em um período de 5 anos. Veja alguns dados de custos sugeridos:

(a) Bomba e motor: R$ 5.000 mais R$ 3.000 por polegada de tamanho de tubo.

(b) Válvulas: R$ 200 mais R$ 200 por polegada de tamanho de tubo.

(c) Tubulações: R$ 3,30 por polegada de diâmetro por metro de comprimento.

Como os parâmetros de escoamento e elevação variam consideravelmente, uma variação diária aleatória dentro das faixas especificadas poderia dar uma aproximação mais realista.

Vamos coletar os dados fornecidos fixando alguns valores dentro da faixa fornecida:

Dados especificados para o projeto:

-5 tanques e 5 linhas de tubulações;

-Estipulando que cada um dos tanques fica a 25 m de elevação;

-tempo de operação da bomba: top=8,0 h;

-volume de cada tanque estipulado em 1000 m3;

-Comprimentos das linhas:

-Número de cotovelos e válvulas:

Como a cada 30,5 m de comprimento há um cotovelo, então

E são 4 válvulas em cada linha, então

-Custo de energia elétrica:

-Custos dos equipamentos:

Vamos agora determinar uma função para o custo total que depois vamos minimiza-la:

O custo total, lembrando, é a soma do custo fixo com o custo variável:

Onde,

O custo de energia elétrica total, CEE,Total, é o custo total gasto com eletricidade com a bomba no período de 5 anos.

Tendo em vista que o CEE é um custo diário.

Vamos determinar expressões para os custos dos equipamentos e o custo de energia elétrico diário e total:

O custo da bomba e das válvulas dependem do diâmetro da tubulação:

Já para a tubulação, o custo dependerá do seu comprimento total, LT,Total, e do seu diâmetro, DT:

Onde,

-LT,Total é o comprimento total das 5 linhas de tubulação.

Assim,

Para o custo de energia elétrica vamos ter a seguinte expressão:

Onde,

-Pe,Bomba é potência de eixo requerida pela bomba, potência que a bomba consome em sua operação;

-top é o tempo de operação diário da bomba;

O custo total de energia elétrica, então, vai ficar:

Determinando a potência de eixo requerida pela bomba:

Usando a expressão de rendimento da bomba

Isolando Pe,Bomba

Lembrando que Ph é a potência hidráulica, energia que a bomba transmite ao fluido, cuja expressão é

Onde,

-QTotal é vazão total de operação da bomba para encher os 5 tanques;

-HBS é a altura de carga da bomba referente ao sistema.

Assim,

Podemos estipular um rendimento para a bomba de 80%

Já a vazão total podemos calcular pela seguinte forma

Onde, as vazões de índice de 1 até 5 são referentes as vazões necessárias em cada linha para encher os respectivos tanques com seus respectivos volumes. Como os volumes dos tanques são iguais como estipulado, então

O volume total é a soma dos volumes dos 5 tanques

Assim,

Em m3/s:

Aplicando Bernoulli em um sistema onde apenas a elevação e perda de carga na tubulação são relevantes, assim para a altura de carga vamos usar a seguinte expressão

Onde,

-Δz é elevação que vale 25 m;

-hLT é a perda de carga total do sistema;

Considerando escoamento laminar, podemos usar a seguinte expressão para a perda de carga principal, hp

Onde,

-Q é a vazão em cada linha;

-LT,i é comprimento da tubulação de cada linha;

-μ é a viscosidade dinâmica da água, μ=0,001 kg/m.s;

A vazão em cada linha é igual para cada linha:

Podemos calcular o somatório dos comprimentos das linhas:

Calculando hp:

Para a perda de carga localizada, hac, podemos usar a seguinte relação:

Onde,

-Ki é o coeficiente de perda localizada que depende de cada dispositivo.

Pela Tabela 6.5 do White:

Assim,

Assim, calculando hac:

Substituindo na expressão

Como Δz=25 m

Da equação de potência de eixo requerida da bomba

Substituindo:

A unidade da Pe,Bomba está em W, e precisaremos usar em kW, devido a equação do custo de energia elétrica, assim devemos dividir a expressão acima por 1000 para converte W para kW:

Voltando na expressão do custo de eletricidade total:

Substituindo:

Sendo top=8 h, assim

Agora que modelamos as eq’s dos custos vamos coloca-las dentro da expressão do custo total:

Relembrando que:

Assim,

Simplificando:

Vamos agora minimizar essa função:

Para minimizar vamos deriva-la em relação a DT e igualar a função derivada a zero:

Isolando DT na equação acima:

Este deve ser então o diâmetro da tubulação para fornecer o menor custo durante uma operação de 5 anos.

Para selecionar a bomba mais adequada para este processo você pode fazer o seguinte:

Pegue os valores de vazão e altura de carga, HBS, observe as seis bombas mostradas em figuras e em formas de dados ditas no enunciado e verifique com os valores de vazão e altura de carga qual a bomba que consegue atingir o maior rendimento e que não cavite. A bomba que não cavitar nas condições de vazão e altura de carga e possuir o maior rendimento será a mais apropriada para se aplicar neste projeto.

Com a bomba selecionada, você já pode pegar os valores de rotação e diâmetro do rotor diretamente nos dados da bomba ou calcular usando as expressões dos coeficientes adimensionais.