Enunciado
Operações Unitárias - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 11.Problemas Abrangentes - Ex. 2
PA11.2 – Reconsidere o Problema P6.62 como um exercício de seleção de bomba. Selecione um tamanho de rotor e um valor de rotação da família de bombas Byron Jackson do Problema P11.28 para fornecer uma vazão de 85 L/s para o sistema da Figura P6.62 com uma potência de eixo mínima. Calcule a potência necessária.
Passo 1
No problema foi dito para encontrarmos um tamanho para o rotor da bomba, D, e a rotação do rotor, n, para uma condição de mínima potência de eixo. Quando se fala em potência de eixo mínima para uma bomba estamos falando do máximo rendimento da bomba.
Quando falamos de máximo rendimento da bomba, que ocorre quando a potência de eixo é mínima, nós utilizaremos os coeficientes adimensionais com valores otimizados para dimensionarmos essa bomba. Aqui quando digo dimensionar é encontrar justamente o diâmetro do rotor da bomba, D e sua rotação, n.
Passo 2
Vamos relembrar os coeficientes adimensionais, que são eles definidos por
Onde,
-CQ é o coeficiente de vazão;
-Q é a vazão volumétrica do fluido;
-CH é o coeficiente de altura de carga;
-CP é o coeficiente de potência;
-g é constante da gravidade, 9,81 m/s2;
-ρ é a massa especifica (densidade) do fluido;
-n é a rotação, em rps;
-Pe é a potência de eixo;
-H é a altura de carga da bomba.
Passo 3
Pela figura 11.8 do White, cap. 11, pág. 778 vemos que os valores de cada coeficiente, correspondente ao ponto ótimo (máximo rendimento) são
Onde, os coeficientes com (*) significam que são os valores dos coeficientes no ponto de máximo rendimento da bomba.
Passo 4
Convertendo a vazão para m3/s
Passo 5
Pelas expressões dos coeficientes, , vemos que não é possível explicitar D ou n sem colocar um em função do outro, então teremos que pegar duas equação para resolver.
Pegando a Eq. de CQ
Isolando n
Pegando agora a expressão de CH
Substituindo a Eq1 na equação de CH*
Isolando D
Passo 6
Não temos o valor da altura de carga da bomba, H, mas podemos acha-lo pelo Equação de Bernoulli
A Eq. de Bernoulli é referente a um balanço de energia mecânica entre dois pontos, que leva em consideração as variações de energia cinética, potencial e energia de pressão, além também da perda de energia por atrito. No volume de controle da figura P6.62 vamos ter uma bomba também, uma máquina de fluxo, então relembrando da equação de Bernoulli aplicada para processos com máquinas de fluxo, também temos um termo referente a energia da bomba. A expressão é
Onde,
-H é a altura de carga da bomba, que é a energia que a bomba deve fornecer ao sistema;
-Δp é a variação de pressão do sistema;
-ΔV2 é a variação de energia cinética do sistema;
-Δz é a variação de energia potencial do sistema;
-hLT é a perda de carga total do sistema, devido ao atrito do fluido com a tubulação e ao atrito com os acessórios;
-ρ é a densidade do fluido;
-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2.
Para hLT
Onde,
-hp e hac são a perda de carga devido ao atrito do fluido com a tubulação e a perda de carga devido ao atrito com os acessórios, respectivamente;
Passo 7
Aplicando o balanço de energia mecânica (Eq de Bernoulli) entre o reservatório de baixo (1) e o reservatório de cima (2), da figura P6.62, lá em cima no enunciado
Onde,
-p1 e p2 são a pressão no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;
-V1 e V2 são a velocidade do fluido no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;
-z1 e z2 são a altura no nível no reservatório de baixo e no de cima, respectivamente;
-hp é a perda de carga por atrito do fluido na tubulação;
-ρ é a densidade da água, ρ=998 kg/m3;
-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/s2.
Na Eq3 não foi adicionado o termo hac, pois foi pedido para desprezar as perdas localizadas, isto é, as perdas com acessórios.
Isolando H
Passo 8
Vamos agora analisar a figura P6.62, lá em cima para ver quem é quem da equação de Bernoulli.
Analisando o esquema da figura P6.62, vemos que
Onde, patm é a pressão atmosférica que você pode considerar para as duas pressões, pois os dois reservatórios estão abertos para a atmosfera.
Também vemos que as velocidades em 1 e 2 são referentes as velocidades de nível de fluido nos reservatórios, e como estes são de grande dimensão (D muito alto), então as velocidades são muito pequenas. Assim,
Já para as alturas z1 e z2, temos pela figura que
A Eq. da altura de carga da bomba, H agora é
Passo 9
Para a perda de carga por atrito temos a equação de Darcy-Weisbach
Onde,
-hp é a perda de carga por atrito na tubulação;
-f é o fator de atrito;
-LT é o comprimento total da tubulação;
-DT é o diâmetro interno da tubulação;
-V é a velocidade do fluido na tubulação;
-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/2.
Passo 10
Substituindo a expressão de Darcy-Weisbach na Eq4
Para expressarmos em termos de vazão, podemos usar a seguinte relação entre vazão e velocidade de escoamento
Onde,
-Q é a vazão volumétrica;
-A é a área da seção transversal do tubo;
-V é a velocidade do fluido.
A área de seção transversal é função do diâmetro da tubulação
Assim,
Isolando V
Substituindo na Eq5
Passo 11
Vamos agora determinar o fator de atrito f.
O fator de atrito depende de Reynolds e da rugosidade relativa.
Pelo problema 6.62, o tubo é de ferro fundido e para este material a rugosidade, ε, vale
Lembrando da Eq. de Reynolds
Onde,
-Re é o número de Reynolds;
-ρ é a densidade do fluido (água), ρ=998 kg/m3 para a água;
-DT é o diâmetro da tubulação, pelo problema 6.62, DT=150mm=0,15m;
-Q é a vazão do fluido;
-μ é a viscosidade dinâmica do fluido (água), μ=0,001 kg/m.s para a água;
Assim,
Usando a diagrama de Moody
Diagrama de Moody.
Passo 12
Calculando a altura de carga H pela Eq6
Aplicando os valores
Passo 13
Agora com o valor de H podemos calcular o diâmetro do rotor pela Eq2
Aplicando os valores
Passo 14
Agora vamos voltar na Eq1 e achar n
Aplicando os valores
Em rpm
Passo 15
Calculando a potência necessária para se aplicar na bomba, no caso é a potência de eixo, Pe
Podemos calcula-la pela expressão do coeficiente de potência
Isolando Pe
Aplicando os valores