Enunciado

O prato circular, cuja seção reta é mostrada, tem um diâmetro externo de 0,20   m . Um jato de água, com velocidade de 35   m / s , atinge o prato concentricamente. O diâmetro do jato saindo do bocal é 20   m m e o prato distância-se do bocal a uma velocidade de 15   m / s . O disco tem um orifício central que permite a passagem sem resistência de uma corrente de água com 10   m m de diâmetro. O restante do jato á defletido e escoa pelo prato. Calcule a força requerida para manter o movimento do prato.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u );
  4. Escoamento Uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no Passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema em x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = R x

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

Para o eixo x :

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

R x = - u 1 ρ V A + u 2 ρ V A

R x = ρ V A ⋅ ( u 2 - u 1 )

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

u 1 = v - u ;

u 2 = - v - u cos ⁡ θ .

Então:

R x = ρ v - u A ⋅ [ - v - u cos ⁡ θ - v - u ]

Sendo:

ρ á g u a = 1000   k g / m 3 ;

v = 35   m / s ;

u = 15   m / s ;

θ = 40 ° ;

A = π ( D 2 - d 2 ) 4 = π 4 0,02 2 - 0,01 2 = 2,356 x 10 - 4   m 2 .

Temos:

R x = 1000 ⋅ ( 35 - 15 ) ⋅ 2,356 x 10 - 4 ⋅ [ - 35 - 15 ⋅ cos ⁡ 40 ° + 1 ] = - 166,4   N

Resposta

R x = - 166,4   N

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