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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 43

Petróleo bruto, com densidade relativa S G = 0,85 e viscosidade μ = 0,1   N ⋅ s / m 2 , escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de θ = 45 ° para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura h = 0,1   i n . O perfil de velocidade é dado por

u = ρ g μ h y - y 2 2 ⋅ s e n   θ

(A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela.) Trace o perfil da velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.

Passo 1

Pela definição da Tensão de Cisalhamento, temos:

τ x y = μ d u d y  

Assim:

τ x y = μ d d y ρ g μ h y - y 2 2 ⋅ s e n   θ

τ x y = ρ g h - y ⋅ s e n   θ

Passo 2

Calculando a tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície:

Sendo:

y = 0 ;

ρ = S G ⋅ 1000 k g m 3 = 850   k g / m 3 ;

g = 9,8   m / s 2 ;

h = 0,1   i n = 0,00254   m ;

θ = 45 ° .

Temos:

τ x y = 850 ⋅ 9,8 ⋅ 0,00254 - 0 ⋅ s e n   45 ° = 14,96   N / m 2

Como a tensão é positiva, seu sentido é na direção x positivo.

Passo 3

A velocidade máxima se dá quando y = h , então:

u m á x = ρ g μ h 2 - h 2 2 ⋅ s e n   θ = ρ g μ h 2 2 ⋅ s e n   θ

Assim:

u u m á x = ρ g μ h y - y 2 2 ⋅ s e n   θ ρ g μ h 2 2 ⋅ s e n   θ

u u m á x = 2 y h - 1 2 y h 2

Trançando o perfil de velocidade, temos:

Resposta

τ x y = 14,96   N / m 2

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