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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 14

Um recipiente cilíndrico é imerso vagarosamente de “boca para baixo” em uma piscina. O ar aprisionado no recipiente é comprimido isotermicamente enquanto a pressão hidrostática aumenta. Desenvolva uma expressão para a altura de água, y, dentro do recipiente, em termos da altura do recipiente, H, e da profundidade de imersão, h. Trace um gráfico de y/h em função de h/H.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiramente, sabemos que:

d ρ d h = ρ g

p V = N R T

Primeiro, aplicamos a equação do gás ideal para a pressão do ar no recipiente com temperatura constante:

p V = p a π 4 D 2 H = ρ π 4 D 2 H - y → p a H = p H - y

Agora, examinamos a equação da pressão hidrostática para a pressão exercida pela água. Como ρ é constante, integramos:

p - p a = ρ g h - y

Como o copo está submerso a uma profundidade de h, essas pressões devem ser iguais, logo:

p a H = p a + ρ g h - y H - y = p a H - p a y + ρ g h - y H - y

Expandindo o lado direito desta expressão e isolando o y :

y = p a ρ g + h + H - p a ρ g + h + H 2 - 4 h H 2

Agora, basta dividir ambos os lados por H :

y H = p a ρ g H + h H + 1 - p a ρ g H + h H + 1 2 - 4 h H 2

A forma exata dessa curva dependerá da altura do copo. O gráfico abaixo foi gerado assumindo:

p a = 101,3 k P a

H = 1 m

Resposta

y H = p a ρ g H + h H + 1 - p a ρ g H + h H + 1 2 - 4 h H 2

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