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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 7

Um refrigerante à base de cola, aproximado como água pura a 20oC, preenche um recipiente de 240 ml por um tubo de 5 mm de diâmetro. Calcule o tempo mínimo de preenchimento se o escoamento no tubo se mantém laminar. Para qual temperatura do refrigerante (água) esse tempo mínimo seria de 1min?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 6.2 do livro, chamada “Escoamento interno e externo”.

Nesse problema, temos um refrigerante de cola, cujas propriedades podem ser aproximadas como água pura a 20   ° C , preenchendo um recipiente de 240   m L ( 2,4 × 10 - 4   m ³ ) escoando por um tubo de diâmetro D = 0,005   m .

O enunciado nos pede para calcular o tempo mínimo de preenchimento do tubo se o escoamento se mantém laminar, ou seja, para o qual R e d ≤ 2300 . Além disso, ele também pede que a gente descubra a temperatura para que o tempo mínio seja de 1   m i n .

Vamos lembrar que o número de Reynolds pode ser calculado como

R e d = ρ v D μ

Sendo: ρ = 998   k g / m ³ é a massa específica da água a 20   ° C ; v é a velocidade do escoamento; D é o diâmetro do tubo e μ = 0,001 k g m ∙ s a viscosidade dinâmica da água.

Então vem comigo que nos próximos passos a gente vai resolver a questão juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, devemos lembrar a relação entre velocidade e vazão máxima de um escoamento:

v = Q A = 4 Q π D ²

Substituindo esse valor no número de Reynolds, encontramos:

R e d = 4 ρ Q π μ D

Como queremos encontrar o tempo mínimo de preenchimento para um fluxo laminar, queremos encontrar a vazão crítica Q c r i t para a qual a partir dela o escoamento se torna turbulento. Pra isso, vamos substituir o número de Reynolds por R e d , c r i t = 2300 :

Q c r i t = π μ D 4 ρ R e d , c r i t = π 0,001   k g / m ∙ s ( 0,005   m )   4 998   k g / m ³ × 2300 = 9,05 × 10 - 6   m ³ / s

Agora, lembre que o refrigerante de cola ocupa 2,4 × 10 - 4   m ³ de volume na garrafa. Para calcular o tempo de preenchimento, basta que a gente divida esse volume pelo valor da vazão que encontramos:

t =   2,4 × 10 - 4   m ³ 9,05 × 10 - 6   m ³ / s = 26,52   s

Passo 3

Pra finalizar a questão, a gente vai encontrar a temperatura de refrigerante (no caso, água), para a qual esse tempo de preenchimento será de 1   m i n , ou seja, 60   s .

Faremos um passo a passo inverso, e devemos calcular o valor da vazão para que todo o volume do fluido escoe nesse tempo:

Q c r i t =   2,4 × 10 - 4   m ³ 60   s = 4 × 10 - 6   m 3 / s

Com o valor da vazão, podemos substituir na equação do número de Reynolds e obter:

μ ρ =   4 Q c r i t π D R e d , c r i t

μ ρ = 4 4 × 10 - 6   m 3 / s π 0,005   m 2300 = 4,42 × 10 - 7   m 2 / s  

Devemos lembrar que μ / ρ   nada mais é que a viscosidade cinemática ν da água. Indo na Tabela A.1, intitulada “Viscosidade e densidade da água a 1 atm”, da página 828, podemos entrrar com esse valor de ν e descobrir eu ele ocorre a uma temperatura aproximada de T = 65 ° C .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

Para 20 ° C , o tempo mínimo de preenchimento é t = 26,52   s

Se o tempo mínimo de preenchimento for de 1   m i n , a temperatura da água é T ≅ 65 ° C

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