Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 112
Sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por , onde é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como e . A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que
Onde e é a altitude com relação ao nível do mar em . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera (a) ignorando e (b) considerando a variação de com a altitude.
Passo 1
Temos que a temperatura da atmosfera varia com a altitude em uma ordem de , enquanto a gravidade
Bem tendo em mente estas duas formulam temos que assumir que o ar é um gás ideal.
Note que para uma variação de pressão, ou seja, um , teremos um uma variação da altitude. Com isto podemos expressar a densidade do ar pela lei do gás ideal:
a)
Demos uma equação diferencial de duas variáveis, portanto vamos separa-las:
Passo 2
Como é uma equação diferencial homogenia, podemos simplesmente integrar os dois lados, com limites de integração de e , pois desejamos a variação de pressão com a variação da altitude correspondente a pressão, teremos:
Para simplificar a equação e também isolar a pressão, multiplicaremos a equação por Euler teremos:
Como na letra (a) a gravidade é constante, então este é resultado final.
Passo 3
b) Para letra b) a resolução será bem parecida, mas com o detalhe de que a gravidade também varia com a altitude, portanto teremos:
Passo 4
Agora que temos nossa equação não podes esquecer que precisamos da variação. Como é uma equação diferencial homogenia, podemos simplesmente integrar os dois lados, com limites de integração de e , pois desejamos a variação de pressão com a variação da altitude correspondente a pressão terá:
Separando as variáveis:
Integrando temos:
Aplicando os limites de integração e também simplificando a equação, temos:
Resposta
a)
b)