Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 34

São conhecidas duas componentes da velocidade de um campo de escoamento em regime permanente, incompressível: u =   a x +   b x y + c y 2 e v = a x z - b y z 2 onde a ,   b ,   e   c são constantes. Está faltando a componente w . Encontre uma expressão para w como uma função de x ,   y , e z .

Passo 1

Vamos lá! A gente quer veridicar se o campo de velocidade é ou não incompressível, para isso ele tem que satisfazer a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Os componentes de velocidade x e y são:

u =   a x +   b x y + c y 2

v = a x z - b y z 2

Mas o componente de velocidade z , w ,é desconhecido!

Passo 2

Mas com a equação da continuidade podemos achar ∂ w / ∂ z   e assim achamos v !!

∂ w ∂ z = - ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

Agora a gente tem que derivar para poder substituir na equação da continuidade:

Começando pela componente u :

u =   a x +   b x y + c y 2

∂ u ∂ x = a + b y

Agora o componente v :

v = a x z - b y z 2

∂ v ∂ y = - b z 2

Passo 3

Substituindo na equação da continuidade:

∂ w ∂ z = - ( a + b y ) - ( - b z 2 )

Integrando:

∫ ∂ w = ∫ - a - b y + b z 2   ∂ z

v = - a z - b y z + b z 3 3 + c  

Onde c é uma constante! Mas como aqui integramos uma derivada parcial, então podemos escrever:

v = - a z - b y z + b z 3 3 + f ( x , y )  

É isso aê! Achamos nossa componente de velocidade w !

Resposta

v = - a z - b y z + b z 3 3 + f ( x , y )  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o escoamento permanente de água através de um bocal axissimétrico de mangueira de jardim (Figura P9-33).A componente axial da velocidade aumenta linearmente de u e n t r a d a a u s a í d a
A componente de velocidade u de um campo de escoamento permanente, bidimensional, incompressível é u =a x 2 -b x y , onde a e b são constantes. A componente de velocidade v é desconhecida. Encontre um
Um bloco desliza para baixo em uma parede longa, reta, inclinada, com a velocidade V , sobre um filme fino de óleo de espessura h (Figura P9-113).O peso do bloco é W ,e sua área de contato com a filme
Considere o seguinte escoamento incompressível bidimensional, que claramente satisfaz a continuidade: u = U 0 = c o n s t a n t e ,v = V 0 = c o n s t a n t e Encontre a função corrente ψ ( r , θ ) pa