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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 32

A componente de velocidade u de um campo de escoamento permanente, bidimensional, incompressível é u =   a x 2 -   b x y , onde a e b   são constantes. A componente de velocidade v é desconhecida. Encontre uma expressão para v em função de x   e y .

Passo 1

Vamos lá! A gente quer achar o componente de velocidade v , sabendo que o campo de escoamento é incompressível, ele tem que satisfazer a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Os componentes de velocidade x é:

u = a x 2 - b x y

Mas o componente de velocidade y , v ,é desconhecido!

Passo 2

Mas com a equação da continuidade podemos achar ∂ v / ∂ y   e assim achamos v !!

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Agora a gente tem que derivar para poder substituir na equação da continuidade:

u = a x 2 - b x y

∂ u ∂ x = 2 a x - b y

Logo:

∂ v ∂ y = - 2 a x + b y

Integrando:

∫ ∂ v = ∫ - 2 a x + b y   ∂ y

v = - 2 a x y + b y 2 2 + c  

Onde c é uma constante! Mas como aqui integramos uma derivada parcial, então podemos escrever:

v = - 2 a x y + b y 2 2 + f ( x )

É isso aê! Achamos nossa componente de velocidade v !

Resposta

v = - 2 a x y + b y 2 2 + f ( x )

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