A seguinte solução:

Pode ser usada como um modelo para o perfil de velocidade de um escoamento pressurizado completamente desenvolvido em um canal com seção transversal elíptica. O centro da elipse é (y, z) = (0, 0), e o eixo maior de comprimento a e o eixo menor de comprimento b são paralelos aos eixos y e z, respectivamente. O gradiente de pressão, ∂p/∂x, é constante. Baseado na equação de NavierStokes, determine a velocidade máxima u0 em termos de a e b, da viscosidade μ e de ∂p/∂x. Fazendo (ρ, ϕ) ser as coordenadas polares radial e azimutal, respectivamente, de um disco unitário (0 ≤ ρ ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ 2π), as coordenadas (y, z) e a velocidade u(y, z) podem ser expressas como funções de (ρ, ϕ): y(ρ, ϕ) = aρ cos ϕ z(ρ, ϕ) = bρ sen ϕ u(ρ, ϕ) = u0 (1 − ρ 2 ) A vazão é Q = ∫ u(y, z)dydz = ab ρu(ρ , ϕ)dρ dϕ. Deduza a vazão do escoamento completamente desenvolvido em um tubo elíptico. Compare a vazão em um canal de seção transversal elíptica com a = 1,5R e b = R e em um tubo de raio R com o mesmo gradiente de pressão.

A vazão pode ser determinada por:

Sabendo que

Substituindo a velocidade máxima , temos:

Portanto, a equação da vazão é:

Para um tubo com raio a vazão pode ser encontrada por:

Para um canal de seção transversal elíptica com a = 1,5R e b = R a vazão é: