A seguinte solução:

Pode ser usada como um modelo para o perfil de velocidade de um escoamento pressurizado completamente desenvolvido em um canal com seção transversal elíptica. O centro da elipse é (y, z) = (0, 0), e o eixo maior de comprimento a e o eixo menor de comprimento b são paralelos aos eixos y e z, respectivamente. O gradiente de pressão, ∂p/∂x, é constante. Baseado na equação de NavierStokes, determine a velocidade máxima u0 em termos de a e b, da viscosidade μ e de ∂p/∂x. Fazendo (ρ, ϕ) ser as coordenadas polares radial e azimutal, respectivamente, de um disco unitário (0 ≤ ρ ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ 2π), as coordenadas (y, z) e a velocidade u(y, z) podem ser expressas como funções de (ρ, ϕ): y(ρ, ϕ) = aρ cos ϕ z(ρ, ϕ) = bρ sen ϕ u(ρ, ϕ) = u0 (1 − ρ 2 ) A vazão é Q = ∫ u(y, z)dydz = ab ρu(ρ , ϕ)dρ dϕ. Deduza a vazão do escoamento completamente desenvolvido em um tubo elíptico. Compare a vazão em um canal de seção transversal elíptica com a = 1,5R e b = R e em um tubo de raio R com o mesmo gradiente de pressão.

Passo 1

A equação de Navier-Stokes pode ser simplificada para um escoamento plenamente desenvolvido e se torna:

μ ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ∂ p ∂ x

Segundo o enunciado ∂ p ∂ x = c o n s t a n t e

Substituindo a solução trivial na equação de Navier- Stokes, temos:

- 2 μ u o 1 a 2 + 1 b 2 = ∂ p ∂ x

Isolando a velocidade, encontramos a velocidade máxima:

u o = - a 2 . b 2 2 μ a 2 + b 2 ∂ p ∂ x

Passo 2

A vazão pode ser determinada por:

Q = ∫ u ( y , z ) d y d z

Q = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ u ρ , Φ d ρ d Φ

Sabendo que   u ρ , Φ = u o 1 - ρ 2

Q = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ u o 1 - ρ 2 d ρ d Φ

Q = 1 2 π a b u o

Substituindo a velocidade máxima u o , temos:

Q = 1 2 π a b . = - a 2 . b 2 2 μ a 2 + b 2 ∂ p ∂ x

Portanto, a equação da vazão é:

Q = - π . a 3 . b 3 4 μ a 2 + b 2 ∂ p ∂ x

Passo 3

Para um tubo com raio R     e     a = b = R a vazão pode ser encontrada por:

Q = - π . R 3 . R 3 4 μ R 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Q = 1 8 - π R 4 μ ∂ p ∂ x

Para um canal de seção transversal elíptica com a = 1,5R e b = R a vazão é:

Q = - π . ( 1,5 R ) 3 . R 3 4 μ ( 1,5 R ) 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Q = 29 104 - π R 4 μ ∂ p ∂ x

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