Foi sugerido, no projeto de um “sprinkler” agrícola, que um elemento estrutural fosse mantido fixo por meio de um arame esticado ao longo da linha de centro de um tubo; acreditava-se que um arame relativamente fino teria pouco efeito sobre a queda de pressão para uma dada vazão. Usando o resultado do Problema 8.56, deduza uma expressão que dê a variação percentual em queda de pressão como uma função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo para escoamento laminar. Trace um gráfico da variação percentual na queda de pressão como uma função da razão de raios k para 0,001 ≤ k ≤ 0,10.

Passo 1

Sabemos do problema 8.56 que a vazão para este caso é:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

Isolando o gradiente de pressão, temos que:

∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4 1 ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

Considerando o caso onde o k → 0   , temos:

∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4

Lembrando que:

∂ p ∂ x = ∆ p L

A variação percentual pode ser encontrada por:

P = ∆ p L - ∆ p L k ∆ p L k = 1 ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k ) - 1

Para pequenos k tem-se:

P = 1 - 1 - 1 ln ⁡ 1 k 1 - 1 ln ⁡ 1 k

Com isso temos a expressão que da a variação percentual em função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo:

P = - 1 ln ⁡ k . 1 + 1 ln ⁡ k . 100

Com essa equação é possível monta um gráfico da porcentagem em função do k:

Resposta

P = - 1 ln ⁡ k . 1 + 1 ln ⁡ k . 100

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