Seja o Problema 4.5, agora com a placa tendo seção transversal quadrada, .

a) Deduza uma expressão para o fator de forma, , associado à temperatura na superfície superior, tal que , na qual é a temperatura máxima ao longo de .

b) Deduza uma expressão para o fator de forma, , associado à temperatura na superfície superior, , na qual é a temperatura média ao longo de .

c) Determine os fatores de forma que podem ser usados para determinar as temperaturas máxima e média ao longo de . Determine as temperaturas máxima e média para , , e .

Agora, explicitando as equações bidimensionais de condução de calor em estado estacionário para uma placa retangular:

Aqui, sendo a distribuição de temperatura.

Então, o gradiente de temperatura em relação à direção  é  e gradiente de temperatura em relação à direção  é .

Expressaremos a condição de limite para a placa retangular bidimensional.

Para a superfície limite esquerda:

Para a superfície limite direita:

Sendo o comprimento da placa na direção .

Para a superfície limite inferior:

Para a superfície limite superior:

Sendo:

;

;

.

Desse modo, expressando a forma geral de distribuição de temperatura para uma placa retangular bidimensional nas direções  e , temos:

Sendo aqui, a constante térmica associada.

Diferenciando a equação em relação a , obtemos:

Substituindo  por :

Substituindo a equação obtida no Passo 2 na equação de fluxo térmico, temos:

Fazendo:

Temos:

Expressando a função  em termos de funções ortogonais infinitas:

Sendo aqui, a função ortogonal.

Assim:

Calculando o coeficiente :

Substituindo os termos:

Integrando:

Calculando a constante :

Substituindo :

Calculando a distribuição de temperatura, , para placas retangulares bidimensionais:

Substituindo :

Letra a)

Consideraremos a placa com seção transversal quadrada:

Então, :

E, considerando a temperatura máxima ocorrida no ponto médio da superfície superior, :

A equação da taxa de transferência de calor por condução se dá:

Sendo , então:

Calcule o fator de forma máximo:

Substituindo os termos:

Letra b)

Calculando a distribuiçãode temperatura média, , de placas retangulares bidimensionais:

Substituindo :

Integrando a equação em relação à entre os limites de e :

Substituindo novamente na equação de fator de forma:

Letra c)

Calculando o fator de forma máximo:

Substituindo :

Calculando o fator de forma médio:

Substituindo :

Calculando a temperatura máxima:

Isolando :

Dados:

;

;

;

;

.

Temos:

Calculando a temperatura média:

Isolando :

Dados:

;

Temos: