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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 106

Simplifique a equação de Navier-Stokes o máximo possível para o caso de hidrostáticas incompressíveis, com a gravidade atuando na direção negativa de z . Comece com a forma vetorial incompressível da equação de Navier-Stokes, explique como e por que alguns termos podem ser simplificados, e forneça o seu resultado final na forma de uma equação vetorial.

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, queremos simplificar a equação de Navier-Stokes para o caso de hidrostáticas incompressíveis, com a gravidade atuando na direção negativa de z . Vamos começar a resolver a partira da equação 9-60 que é a forma vetorial incompressível da equação de Navier-Stokes. Assim temos que:

ρ D V → D t = - ∇ → P + ρ g → + μ ∇ 2 V →                                       E q .   1

Em que  g → é o vetor de gravidade, P  é a pressão, ρ  é a densidade, V →  é o vetor de velocidade.

Passo 2

Nesse problema, temos que em um caso de hidrostática, não há fluxo. Logo, podemos dizer que:

V → = 0                         E q . 2

Foi dito no enunciado que a gravidade está atuando na direção negativa de z . Assim, podemos dizer que:

g → = - g k →                               E q . 3

Passo 3

Pelas considerações feitas no passo anterior, podemos substituir as equações (2) e (3) na equação (1). Assim temos:

ρ D V → D t = - ∇ → P + ρ g → + μ ∇ 2 V →

ρ D 0 D t = - ∇ → P + ρ - g k → + μ ∇ 2 0

0 = - ∇ → P + ρ - g k →

∇ → P = - ρ g k →

Portanto, a equação de Navier-Stokes para o caso de hidrostáticas incompressíveis é dada por:

∇ → P = - ρ g k →

Resposta

∇ → P = - ρ g k →

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