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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 29

Sob algumas condições a atmosfera é adiabática p ≈ c o n s t ρ k , em que k é a razão entre calores específicos. Mostre que, para uma atmosfera adiabática, a variação de pressão é dada por:

p = p o 1 - k - 1 g z k R T k k - 1

Compare essa fórmula para ar em z = 5000 m com a atmosfera padrão da tabela A.6

Passo 1

Bem, a primeira coisa que vamos precisar escrever aqui são os paranauês que o problema diz e algo muito importante é lembrar que:

k = C p / C v

Depois, lembrar que para um sistema adiabático p = C ρ k , onde C é uma constante.

Para iniciarmos esse desenvolvimento, você precisará lembrar da relação hidrostática básica para um meio adiabático:

d p d z = - ρ g = d C ρ k d z = k C ρ k - 1 d ρ d z  

Passo 2

Vamos agora separar as variáveis e integrar, beleza? Afinal não esqueça que nosso intuito é chegarmos na equação do enunciado do problema!!

- ρ g = k C ρ k - 1 d ρ d z

- g k d z = C ρ k - 2 d ρ

∫ C ρ k - 2 d ρ = - ∫ g k d z

C ρ k - 1 k - 1 = - g z k + c o n s t a n t e

Beleza, agora com a nossa função integrada, precisamos descobrir quem é a constante.

Uma boa condição para encontrarmos essa constante é quando z = 0, tendo assim que:

c o n s t a n t e = C ρ o k - 1 k - 1

Note uma sutil diferença, pois a massa específica ganhou subíndice “o”, indicando ser um parâmetro medido ao valor de nível do mar, ou superfície como o livro diz em alguns casos.

Portanto, reescrevendo a equação acima com a constante temos que:

C ρ k - 1 k - 1 = - g z k + C ρ o k - 1 k - 1

Dividindo toda a nossa equação pelo valor da constante, temos:

C ρ k - 1 k - 1 k - 1 C ρ o k - 1 = - g z k k - 1 C ρ o k - 1

ρ ρ o k - 1 = 1 - k - 1 g z k C ρ o k - 1

Passo 3

Vamos fazer alguns ajustes agora!!!!

ρ ρ o k - 1 = 1 - k - 1 g z k C ρ o k - 1

Note que C ρ o k - 1 = C ( ρ o k / ρ o )

Por sua vez, podemos lembrar das correlações mostradas durante os estudos que p = C ρ k , desta forma:

C ρ o k ρ o = p o ρ o = R T o

Lembre-se que: p = ρ R T → p o ρ o = R T o

Por fim, a gente pode então reescrever a equação acima sendo:

ρ ρ o k - 1 = 1 - k - 1 g z k C ρ o k - 1 = p p o k - 1 k

Onde p = C ρ k

Substituindo C ρ o k - 1   pela relação encontrada, tem-se por fim a igualdade desejada pelo enunciado.

p p o = 1 - k - 1 g z k R T o k k - 1

Passo 4

Para uma altura de 5000 m, de acordo com a tabela A.6 a pressão é dada por p = 54008 Pa, enquanto na fórmula para uma atmosfera adiabática com k = 1,40 ao substituir na fórmula encontrada, observa-se que o resultado será de 52896 Pa. Um erro de aproximadamente 2% mais baixo.

Resposta

E r r o = 2 %

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