Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 57

Um soldado salta de um avião e abre o paraquedas quando sua velocidade atinge a velocidade terminal V t . O paraquedas diminui sua velocidade até a velocidade de aterrisagem de V f . Após o uso dele, a resistência do ar é proporcional à velocidade ao quadrado (ou seja, F = k V ² ) .   O soldado, o paraquedas e as ferragens têm massa total m .   Mostre que k = m g V f 2 e desenvolva uma relação para a velocidade do soldado depois que ele abre o paraquedas no instante t = 0 .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem por aí? Vamos para mais uma resolução. A velocidade terminal de um objeto em queda livre é atingida quando a resistência do ar é igual ao peso do objeto. Logo:

F r e s i s t ê n c i a = W

k V f 2 = m g

Portanto:

k = m g V f 2

Essa é a relação desejada para a constante de proporcionalidade k . Quando o pára-quedas é acionado e o soldado começa a desacelerar, a força que atua sobre ele é seu peso menos a resistência do ar. Portanto, temos que:

F = W - F r e s i s t ê n c i a = m g - k V 2

Como k = m g V f 2 ,   teremos:

F = m g - m g V f 2 V 2 = m g 1 - V 2 V f 2

Agora, vamos usar a famosa lei de Newton ( F = m a = m   d V / d t ):

F = m d V d t = m g 1 - V 2 V f 2

Passo 2

Agora, temos a expressão:

m d V d t = m g 1 - V 2 V f 2

Podemos simplificar:

d V d t = g 1 - V 2 V f 2

Aqui, temos uma equação diferencial. Vamos separar as variáveis e integrar os dois lados:

d V 1 - V 2 V f 2 = g d t

Integraremos a partir de t = 0 ,   quando V = V t ,   até t = t , quando V = V .   Ou seja:

∫ V t V d V V f 2 - V 2 = g V f 2 ∫ 0 t d t

Por fim, basta integrar. A primeira parte pode ser resolvida por ∫ d x a 2 - x 2 = 1 2 a ln ⁡ a + x a - x .   Logo:

1 2 V f ( ln ⁡ V f + V V f - V - ln ⁡ V f + V T V f - V t )   = g t V f 2

Rearranjando a equação:

V = V f V t + V f + V t - V f e - 2 g t V f V t + V f - V t - V f e - 2 g t V f

Resposta

V = V f V t + V f + V t - V f e - 2 g t V f V t + V f - V t - V f e - 2 g t V f

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Admita que o foguete da Figura E3.12 inicie o movimento em z = 0 , com velocidade de saída e vazão em massa de saída constantes, e suba verticalmente com força de arrasto zero. (a) Mostre que, enquant
Um líquido de massa especifica ρ escoa em uma curva a 90 ° , como mostra a Figura P3.125, e sai verticalmente e uniformemente por um trecho poroso de comprimento L. Desprezando os pesos do tubo e do l
O irrigador de gramados de três braços da Figura P3.114 recebe água a 20°C pelo centro, a 2,7 m 3 / h . Se o atrito no anel central é desprezível, qual será a rotação permanente, em rpm, para (a) θ =
Uma turbomáquina simples é constituída de um disco com dois dutos internos que saem tangencialmente através de seções quadradas, como na Figura P3.117. Água a 20°C entra perpendicularmente ao disco no
No Problema P3.60, encontre o torque em torno do flange 1 se o ponto central de saída 2 está a 1,2m diretamente abaixo do centro do flange.