Uma superfície horizontal, de comprimento L = 0,8   m e largura b = 1,9   m , está imersa em uma corrente de ar-padrão escoando a U = 5,3   m / s . Considere a formação de uma camada limite laminar e aproxime o perfil de velocidade como linear. Trace δ ,   δ * e τ w versus x / L para a placa.

Passo 1

Precisamos achar uma relação entre δ ,   δ * e τ w e x para conseguir traçar o gráficos que ele pediu.

O enunciado fala que temos um perfil de velocidade linear:

u U = y δ

E também dá outras informações:

- comprimento da placa: L = 0,8   m

- largura: b = 1,9   m

- velocidade de corrente livre: U = 5,3   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Vamo começar!

Passo 2

Podemos usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Considerando U = c o n s t a n t e :

τ w ρ = d U 2 θ d x

E gente pode dizer que:

τ w = μ d u d y

Sabendo que:

u = U y δ

τ w = μ U δ

Substituindo isso na equação integral:

μ ρ δ = d U θ d x

Passo 3

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 - y δ d y = ∫ o δ y δ - y 2 δ 2 d y = δ 2 2 δ - δ 3 3 δ 2 = δ 6

Aí substituindo na nossa equação:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

Passo 4

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

δ d δ = 6 μ d x U ρ

∫ δ d δ = ∫ 6 μ d x U ρ ∴ δ 2 2 = 6 μ x U ρ + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

δ 2 2 = 6 μ x U ρ

Isolando δ e dividindo os dois lados por x :

δ = 12 μ x U ρ

Passo 5

Para achar uma expressão para τ w vamos usar:

τ w = U μ δ

Mas a gente sabe quem é δ :

τ w = μ U U ρ 12 μ x

Passo 6

Para finalizar, vamos achar δ * usando sua definição:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - y δ d y = δ 2

δ * = 0,5 δ

δ * = 0,5 12 μ x U ρ

Conseguimos!

Passo 7

Agora só montar os gráfico com as informações do enunciado e as expressões que achamos:

Resposta

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