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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 119

Um objeto de massa m, de área de seção transversal igual à metade da área do tubo, cai em um tubo de correio. O movimento é em regime permanente. A área da esteira é 3/4 da área do tubo na sua seção máxima. Use a hipótese de pressão constante na esteira. Aplique as equações da continuidade, de Bernoulli e da quantidade de movimento, para desenvolver uma expressão para a velocidade terminal do objeto em termos de sua massa e de outras quantidades.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Sabemos que, considerando a velocidade constante, aplicando a equação da continuidade:

0 = ∂ ∂ t ∫ ρ d V + ∫ ρ V →   d A →

Logo:

p 1 p + V 1 2 2 + g z = p 2 p + V 2 2 2 + g z

F s y + F B y = ∂ ∂ t ∫ v ρ d V + ∫ v ρ V →   d A →

Da equação da continuidade:

0 = - ρ V 1 A 1 + ρ V 2 A 2

Logo:

V 2 = V 1 A 1 A 2 = V A 1 A 2

Da equação de Bernoulli:

p 1 + p 2 = 1 2 ρ V 2 2 - 1 2 ρ V 1 2 = 1 2 ρ V 2 A 1 A 2 2 - 1

Logo, da equação do momento:

p 1 A - p 2 A - m g = v 1 - ρ V 1 A 1 + v 2 ρ V 2 A 2

Como v 1 = V 1   e v 2 = V 2 :

p 1 A - p 2 A - m g = ρ V 2 A A 1 A 2 - 1

Logo, manipulando a equação e substituindo para p 1 - p 2 :

1 2 ρ V 2 A A 1 A 2 2 - 1 - m g = ρ V 2 A A 1 A 2 - 1

Portanto, isolando a velocidade:

V = 2 m g ρ 1 A 1 A 2 2 - 2 A 1 A 2 + 1 1 2

Onde A 2 é a área de fluxo líquido na seção 2.

Resposta

V = 2 m g ρ 1 A 1 A 2 2 - 2 A 1 A 2 + 1 1 2

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