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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 8

The Archimedes number, Ar, used in the flow of stratified

fluids, is a dimensionless combination of gravity g, density

difference ∆ρ, fluid width L, and viscosity µ. Find the

form of this number if it is proportional to g.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Conte as variáveis. Existem 4 variáveis e três dimensões primárias M , L , T .

Escreva as relações dimensionais para variáveis.

  g = L T - 2     Δ ρ = M L - 3     L = L     μ = M L - 1 T - 1  

Aqui, g é a aceleração devido à gravidade, Δ ρ é a mudança na densidade, L é a profundidade do fluido e μ é a viscosidade.

Passo 2

Calcule a variável j . Nenhuma variável contém as dimensões e, portanto, j é igual ou menor que 3. Escreva a relação para calcular o grupo por variáveis fundamentais.

Π 1     = Δ ρ a μ b L c g       = M 0 L 0 T 0 . . . ( 1 )  

Aqui, a , b e c são variáveis. Substitua M L - 3 para Δ ρ , L T - 2 para g , M L - 1 T - 1 para μ e L para L .

  M L - 3 a M L - 1 T - 1 b L c L T - 2 = M 0 L 0 T 0     M a L - 3 a M b L - b T - b L c L T - 2 = M 0 L 0 T 0     M a + b L - 3 a - b + c + 1 T - b - 2 = M 0 L 0 T 0  

Passo 3

Compare as potências da variável tempo.

    - b - 2 = 0     b = - 2  

Compare as potências da variável de massa.

  a + b = 0     a = - b  

Substitua - 2 para b .

a = 2

Passo 4

Compare as potências da variável de comprimento.

- 3 a - b + c + 1 = 0

Substitua - 2 para b e 2 para a .

    - 3 ( 2 ) - ( - 2 ) + c + 1 = 0     c = 3  

Passo 5

Substitua 4 por c , - 2 para b e 2 por a na equação (1).

∏ 1         = Δ ρ a μ b L c g       = Δ ρ 2 μ - 2 L 3 g       = ( Δ ρ ) 2 L 3 g μ 2  

Aqui, Π 1 indica o número de Arquimedes. Assim, a forma do número de Arquimedes é g L 3 ( Δ ρ ) 2 μ 2 .

Resposta

∏ 1   = g L 3 ( Δ ρ ) 2 μ 2

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