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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 74

No tratamento analítico da aleta com área de seção transversal uniforme foi suposto que o coeficiente de transferência de calor por convecção era constante ao longo do comprimento da aleta. Considere uma aleta de aço A I S I   316 com 6   m m de diâmetro e 50   m m de comprimento (com extremidade isolada), que opera sob as seguintes condições: T b   =   125 ° C , T ∞   =   27 ° C , T v i z   =   27 ° C e ε   =   0,6 .

( a ) Estime valores médios para os coeficientes de transferência de calor por convecção natural ( h c ) e por radiação ( h r ) na aleta. Use esses valores para estimar a temperatura na extremidade da aleta e sua efetividade.

( b ) Utilize um método numérico para estimar os parâmetros anteriores com os coeficientes convectivo e radiante na aleta com base em valores locais, ao invés dos valores médios.

Passo 1

Vamos começar o exercício interpretando sua física, inicialmente do enunciado temos os dados da aleta em questão:

T b   =   125 ° C , T ∞   =   27 ° C , T v i z   =   27 ° C e ε   =   0,6

Além disso, devemos retirar um dado muito importante para a formulação, de que a aleta é adiabática de área de seção uniforme, pois sua extremidade se encontra isolada. Logo:

Note que a aleta possui uma emissividade, então temos que ter em mente que teremos a influência de radiação.

Passo 2

Temos que o fluido em questão é o ar. Utilizando a tabela A-4 e a A-1 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.), podemos buscar as supostas propriedades...

Mas antes, precisamos estimar a temperatura de superfície para estimar os parâmetros para a aleta:

T s - = T b + T ∞ 2 = 125 + 27 2 = 77 + 273 = 350   K

k = 14,3 W m ∙ K

Utilizando da temperatura de superfície, podemos estimar a temperatura de filme para entrar na tabela:

T f = T s - + T ∞ 2 = 77 + 27 2 = 52 + 273 = 325   K

υ = 18,41 × 10 - 6 m 2 s ,   k = 0,0282 W m ∙ K ,   α = 26,2 × 10 - 6 m 2 s ,   P r = 0,704

β = 1 T f = 3,077 × 10 - 3 K - 1

Passo 3

Muito bem galera, agora podemos prosseguir com a resolução...

Da questão ( a ) , temos que determinar um valor médio para h - c e h - r , além disso precisamos determinar a efetividade da aleta.

Lembra que nossa aleta é adiabática? Ou seja, sua ponta é isolada de qualquer convecção...

Portanto a formulação será a seguinte:

θ L = θ b ⁡ cosh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L      

Como queremos saber a temperatura na ponta da aleta, logo ( x = L ) ...

θ L = θ b cosh ⁡ mL ⁡  

Onde,

θ L = T L - T ∞

θ b = T b - T ∞

Passo 4

Bom, agora seguindo....

Nesse problema, temos que encontrar o coeficiente médio de convecção o que basicamente é:

h - = h - c + h - r

Logo, começando elo primeiro coeficiente, temos que ter em mente que a aleta sofre convecção natural e que se trata de uma aleta de seção circular horizontal, portanto, a correlação correspondente é:

N u - D = h - c D k = C R a D n

R a D = g β ∆ T D 3 υ α = 9,81 m s 2 3,077 × 10 - 3 K - 1 350 - 300 K 0,006   m 3 18,41 × 10 - 6 m 2 s 26,2 × 10 - 6 m 2 s = 675

Temos que C e n se encontram na tabela 9.1 (Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - 7°Ed.). Portanto:

N u - D = 0,850 675 0,188 = 2,8724

N u - D = h - D k

h - c = 2,8724 0,0282 W m ∙ K 0,006   m = 13,6 W m 2 ∙ K

Passo 5

Partindo para o segundo coeficiente...

h - r = ε σ ( T - s + T v i z ) ( T - s 2 + T v i z 2 )

h - r = 0,6 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4 350 + 300 350 2 + 300 2 K 3 = 4,7 W m 2 ∙ K

Por fim...

h - = h - c + h - r = 13,6 W m 2 ∙ K + 4,7 W m 2 ∙ K = 18,3   W m 2 ∙ K

Passo 6

Voltando para nossas equações iniciais...

θ L = T L - T ∞ = ( T b - T∞ ) cosh ⁡ mL ⁡  

Onde,

P = π D = π × 0,006   m = 1,885 × 10 - 2   m

A c = π D 2 4 = π 0,006   m 2 4 = 2,827 × 10 - 5 m 2

m = h - P k A c 1 2 = 18,3   W m 2 ∙ K 1,885 × 10 - 2   m 14,3 W m ∙ K 2,827 × 10 - 5 m 2 1 2 = 29,21   m - 1

Por fim...

T L - T ∞ = T b - T∞ cosh ⁡ mL ⁡  

T L - 27 = 125 - 27 K cosh ⁡ 29,21   m - 1 × 0,050   m = 43,2   K

T L = 43,2   K + 27 + 273 = 343,2   K

T L = 70,2 ℃

Passo 7

Para concluirmos a questão ( a ) basta determinarmos a efetividade da aleta, ou seja:

ε = q h - A c , b θ b

Onde para aleta adiabática...

q = M ∙ tanh ⁡ ( m L )

M = h - P k A c θ b

Portanto:

M = 18,3 W m 2 ∙ K 1,885 × 10 - 2   m 14,3 W m ∙ K 2,827 × 10 - 5 m 2 125 - 27 K

M = 1,157 W

q = 1,157 W ∙ tanh ⁡ 29,21   m - 1 × 0,050   m = 1,039   W

Por fim...

ε = 1,039   W 18,3 W m 2 ∙ K 2,827 × 10 - 5 m 2 ( 125 - 27 ) K = 20,5

Passo 8

A questão ( b ) pede para utilizar o método numérico para resolução dos mesmos passos anteriores, porém como método numérico será possível discretizar a aleta em elementos nodais.

A partir de um auxílio de um software, a resolução dos elementos nodais trará uma melhor aproximação dos valores finais do exercício anterior.

Resposta

( a ) Valores médios para os coeficientes de transferência de calor por convecção natural ( h c ) e por radiação ( h r ) na aleta:

h - c = 13,6 W m 2 ∙ K

h - r = 4,7 W m 2 ∙ K

Valores para a temperatura na extremidade da aleta e sua efetividade:

T L = 70,2 ℃

ε = 20,5

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