Enunciado

Considere duas longas placas verticais mantidas a temperaturas uniformes T s , 1   >   T s , 2 . O espaço formado entre elas é aberto nas suas extremidades e as placas estão separadas pela distância 2 L .

( a ) Esboce a distribuição de velocidades no espaço entre as placas.

( b ) Escreva formas apropriadas para as equações da continuidade, do momento e da energia para o escoamento laminar entre as placas.

( c ) Determine a distribuição de temperaturas e expresse seu resultado em termos da temperatura média,

T m   = T s , 1   +   T s , 2 2

(d) Estime o gradiente de pressão na direção vertical, admitindo que a massa específica seja uma constante ρ m correspondente a T m . Usando a aproximação de B o u s s i n e s q , obtenha a forma resultante da equação do momento.

(e) Determine a distribuição de velocidades.

Passo 1

Vamos lá, temos aqui um problema de canais verticais entre placas paralelas, onde as temperaturas entre as duas placas, são temperaturas prescritas de T s , 1 > T s , 2 , o que é um dado muito importante.

E a placa é separada por uma distância de 2 L .

Passo 2

Iniciando a resolução pela questão ( a ) , precisamos esboçar a distribuição de velocidades no espaço entre as placas.

Para realizarmos esse esboço, precisamos definir umas condições e a partir disso relembrar algumas definições...

Logo, assumindo propriedades constantes, ao longo de toda a física do problema, temos que para as condições prescritas, deve haver fluxos ascendentes e descendentes conduzidos por flutuabilidade ao longo das superfícies correspondentes a T s ,   1 e T s ,   2 .

Sabendo que T s , 1 > T s , 2 , isso fará com que o fluido do lado com maior temperatura se expanda, fazendo com que sua densidade diminuía fazendo com que o fluido suba.

O lado com menor temperatura, fará com que o fluido fique mais denso, provocando sua queda.

Portanto, na simetria do plano, teremos a seguinte representação:

Passo 3

Partindo para questão ( b ) , onde temos que determinar formas apropriadas para a equação da continuidade para o problema.

Precisamos lembrar antes que a equação genérica da continuidade é:

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = - ∂ ρ ∂ t

Essa equação é conhecida também como equação da conservação da massa e cada termo representa a velocidade em sua componente. Para fluidos em escoamento permanente e bidimensional, temos que para nosso problema:

∂ u ∂ x + ∂ w ∂ z = 0

Para placas longas u = 0 , logo...

∂ w ∂ z = 0

Como ambas as temperaturas são independentes de z , a distribuição de temperatura totalmente desenvolvida também será:

∂ T ∂ z = 0

Portanto, não há transferência líquida de momento ou energia por advecção (transmissão do calor pelo deslocamento de massa atmosférica no sentido horizontal), e as equações correspondentes são:

0 = - d p d z + μ d 2 w d x 2 - ρ g g c

0 = d T 2 d x 2

Passo 4

A questão ( c ) , precisamos determinar a distribuição de temperaturas e expressar em termos de temperatura média.

Da equação anterior temos:

0 = d T 2 d x 2

Realizando a integração dupla...

T = c 1 x + c 2

Note que iremos precisar aplicar as condições de contorno, o que corresponde ao espaçamento entre as placas partindo da simetria do plano, ou seja...

T - L = T s , 1

T L = T s , 2

Determinado os coeficientes...

c 1 = - ( T s , 1 - T s ,   2 ) 2 L

T s , 2 = - T s , 1 - T s ,   2 2 L L + c 2

c 2 = ( T s , 1 + T s ,   2 ) 2

Note que c 2 ≡ T m , pois:

T m = ( T s , 1 + T s ,   2 ) 2

Portanto, aplicando os coeficientes na equação:

T - T m T s , 1 - T s , 2 = - x 2 L

Passo 5

A questão d , pede para estimarmos o gradiente de pressão na direção vertical, admitindo que a massa específica seja uma constante ρ m correspondente a   T m .

Do exercício, ele nos pede pra usar a aproximação de Boussinesq, para obter a forma resultante da equação do momento.

Temos que o equilíbrio entre as forças de pressão gravitacional e líquida podem ser expressas como sendo:

d p d z   =   - ρ m   g g c

Para obtermos a equação do momento, basta integramos a expressão acima, a qual ficará:

0 = μ d 2 w d x 2 - ρ - ρ m g g c

Realizando a aproximação de Boussinesq, que é:

ρ - ρ m ≈ - β ρ m T - T m

Portanto...

d 2 w d x 2 = - β ρ m μ   g g c ( T - T m )

Passo 6

Por fim, temos a questão ( e ) , para determinarmos a distribuição de velocidades...

Portanto integrando a equação anterior duas vezes:

d w d x = β ρ m 12 μ   g g g c T s , 1 - T s , 2 x 2 l + c 1

w = β ρ m 12 μ   g g c T s , 1 - T s , 2 x 3 L 3 - x L

Resposta

( a ) Distribuição de velocidades no espaço entre as placas:

( b ) Formas apropriadas para as equações da continuidade, do momento e da energia para o escoamento laminar entre as placas:

∂ w ∂ z = 0

0 = - d p d z + μ d 2 w d x 2 - ρ g g c

0 = d T 2 d x 2

( c ) A distribuição de temperaturas:

T - T m T s , 1 - T s , 2 = - x 2 L

( d ) O gradiente de pressão na direção vertical, admitindo que a massa específica seja uma constante   ρ m correspondente a T m :

d 2 w d x 2 = - β ρ m μ   g g c ( T - T m )

( e ) A distribuição de velocidades:

w = β ρ m 12 μ   g g c T s , 1 - T s , 2 x 3 L 3 - x L

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