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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 157

O tubo em V da Figura P2.157 contém água e está aberto em A e fechado em C . Qual rotação uniforme em r p m em torno do eixo A B fará a pressão ser igual nos pontos B e C ? Para essa condição, em que ponto no ramo B C a pressão será mínima?

Passo 1

Fala Pessoal!!

Nessa questão, nós queremos encontrar a rotação uniforme em r p m em torno do eixo A B que fará a pressão ser igual nos pontos B e C . Também queremos saber em que ponto no ramo B C a pressão será mínima para essa condição.

Passo 2

É importante saber que se as pressões são iguais em B e C , elas devem estar em uma superfície paraboloide de pressão constante. Tomando z B = 0 , podemos usar a seguinte equação para encontrar a rotação:

z C = Ω 2 R 2 2 g

Como consideramos z B = 0 , isso implica que z C = 0,3   m . Temos que a ângulo é de 45 ° , isso implica que R = 0,3   m . Para a gravidade de 9,81   m / s 2 , temos o seguinte:

0,3 = Ω 2 0,3   2 2 9,81

Ω = 8,09   r a d / s

Transformando em r p m , temos:

Ω = 8,09     r a d / s 60   s 1   m i n 1   r e v 2 π   r a d

Ω = 77   r p m

Portanto, é necessária uma rotação de 77   r p m .

Passo 3

A pressão mínima no segmento B C ocorre onde o contorno de pressão paraboloide mais alto é tangente ou segmento B C . Esta família de paraboloides tem a fórmula

z = z 0 + Ω 2 r 2 2 g

Só que z = r tan ⁡ 45 ° . Substituindo, temos:

r tan ⁡ 45 ° = z 0 + Ω 2 r 2 2 g

Aplicando os valores fornecidos, temos:

r tan ⁡ 45 ° = z 0 + 8,09 2 r 2 2 9,81

z 0 + 3,336   r 2 - r = 0

O mínimo ocorre quando d z / d r = 0 , ou seja:

6,67   r - 1 = 0

r = 0,15   m

Por relação trigonométrica:

y = 0,15 m sen ⁡ 45 ° = 0,21   m

A pressão mínima ocorre a meio caminho entre os pontos B e C . Fica 0,21   m partindo de B em direção de C .

Resposta

Ω = 77   r p m

y = 0,21   m

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