Enunciado

Usando a geometria da Figura 10.6a, prove que o canal circular abeto mais eficiente (raio hidráulico máximo para uma dada área de escoamento) é um semicírculo.

Passo 1

E simbora lá!

Bora lá, pra essa demonstração, vamos usar a equação 10.20, assim:

A = R 2 θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ ; P = 2 R θ → P = 2 θ A θ - sen ⁡ 2 θ 2

Vamo diferenciar isso em relação a θ para achar o máximo raio hidráulico, ou o menor perímetro, logo:

d P d θ ​ A = c o n s t a n t e = 0

Isso, se θ = 90 ° .

Tendo 90 ° isso vai equivaler a um semicírculo, pois quando faremos de um raio a outro, teremos o equivalente.

Resposta

θ = 90 °   p a r a   t e r m o s   u m   s e m i c í r c u l o

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