A variação da pressão com a densidade em uma camada de gás espessa é dada por P = C ρ n , onde C e n são constantes. Observando que a variação de pressão em uma camada de fluido diferencial com espessura d z na direção vertical z é dada por d P = - ρ g d z , obtenha uma relação para a pressão como função da elevação z . Considerando a pressão e a densidade em z = 0 como P 0eρ 0 respectivamente.

P = P 0 1 - n - 1 n ρ 0 g z P 0 n n - 1

Enunciado

Temos uma variação de pressão com a densidade em uma fina camada de gás. Temos que determinara relação da pressão em função de .

Assumindo que é valido para toda espaço.

Para relacionarmos a variação de pressão com uma variação do espaço é executar esta equação diferencial.

Temos que:

Notes que temos que inserir a equação da densidade relacionada à pressão e podemos escrever ela desta forma:

Isolando :

Temos que também a densidade no estado inicial dela:

Como é constante ele permanece igual e assim podemos relacionar as duas equações:

Isolando , para substituirmos na primeira equação:

Agora que temos a relação da densidade com a variação de pressão, podemos substituir na equação diferencial e aplicar os limites de variação:

Temos uma equação diferencial de duas variáveis, homogenia e um meio de solucionar ela é a separação de variáveis, portanto:

Integrando dos dois lados para solucionara equação e aplicando os limites de integração do ponto inicial-()- a qualquer ponto-()-, temos:

Resolvendo a integral temos:

Isolando :