Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 113
A variação da pressão com a densidade em uma camada de gás espessa é dada por onde e são constantes. Observando que a variação de pressão em uma camada de fluido diferencial com espessura na direção vertical é dada por , obtenha uma relação para a pressão como função da elevação . Considerando a pressão e a densidade em como respectivamente.
Passo 1
Temos uma variação de pressão com a densidade em uma fina camada de gás. Temos que determinara relação da pressão em função de .
Assumindo que é valido para toda espaço.
Para relacionarmos a variação de pressão com uma variação do espaço é executar esta equação diferencial.
Passo 2
Temos que:
Notes que temos que inserir a equação da densidade relacionada à pressão e podemos escrever ela desta forma:
Isolando :
Temos que também a densidade no estado inicial dela:
Como é constante ele permanece igual e assim podemos relacionar as duas equações:
Isolando , para substituirmos na primeira equação:
Passo 3
Agora que temos a relação da densidade com a variação de pressão, podemos substituir na equação diferencial e aplicar os limites de variação:
Temos uma equação diferencial de duas variáveis, homogenia e um meio de solucionar ela é a separação de variáveis, portanto:
Integrando dos dois lados para solucionara equação e aplicando os limites de integração do ponto inicial-()- a qualquer ponto-()-, temos:
Resolvendo a integral temos:
Isolando :