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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 13

Veículos de pesquisa oceanográfica já desceram a 10 km abaixo do nível do mar. Nessas profundidades extremas, a compressibilidade da água do mar pode ser significativa. O comportamento da água do mar pode ser modelado supondo que o seu módulo de compressibilidade permanece constante. Usando essa hipótese, avalie, para essa profundidade, os desvios na massa específica e na pressão em relação aos valores calculados considerando a água do mar incompressível a uma profundidade, h, de 10 km na água do mar. Expresse as suas respostas em valores percentuais. Plote os resultados na faixa de 0 ≤ h ≤ 11 km.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiramente, sabemos que:

d ρ d h = ρ g

E v = d p d ρ ρ

Logo, manipulando as equações:

d p = ρ g d h = E v d ρ ρ

d p ρ 2 = g E v d h  

Integrando os dois lados e aplicando os limites de integração:

∫ ρ 0 ρ d ρ ρ 2 = ∫ 0 h g E v d h

Logo:

ρ - ρ 0 ρ ρ 0 = g h E v

Portanto:

ρ = E v ρ 0 E v - ρ 0 g h → ρ ρ 0 = 1 1 - ρ 0 g h E v

∆ ρ ρ 0 = ρ - ρ 0 ρ 0 = ρ 0 g h E v 1 - ρ 0 g h E v  

Para determinar uma expressão para o desvio percentual da pressão, encontramos p - p a t m para a variável ρ e, em seguida, para a constante ρ :

p - p a t m = ∫ 0 h ρ 0 g h

∆ p p c t e = p - p c t e p c t e = E v ln ⁡ ρ ρ 0 - ρ 0 g h ρ 0 g h = E V ρ 0 g h ln ⁡ ρ ρ 0 - 1  

Utilizando a expressão acima e substituindo o valor ρ ρ 0 = 1 1 - ρ 0 g h E v :

∆ p p c t e = E V ρ 0 g h ln ⁡ ( 1 - ρ 0 g h E v ) - 1   - 1

Se chamarmos x = E v ρ 0 g e substituirmos os valores:

x = 2,42 × 10 9 1,025 × 9,81 × 1000 = 240670,29 m  

Substituindo nas expressões os desvios que obtemos:

d e v ρ = ∆ ρ ρ 0 = 4,55 %

d e v p = ∆ p p c t e = 2,24 %

Para finalizar, devemos plotar o gráfico dos desvios em função da profundidade no intervalo pedido:

Resposta

d e v ρ = 4,55 %

d e v p = 2,24 %

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