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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 12

Para que o módulo de compactação seja constante para a água do mar, deduza uma expressão para variação da massa específica com profundidade, h, abaixo da superfície. Mostrar que o resultado pode ser escrito como:

ρ   ≈   ρ 0   +   b h

em que ρ0 é uma massa específica na superfície. Determine a constante b. Em seguida, usando essa aproximação, obtenha uma equação para uma variação de pressão com profundidade abaixo da superfície. Determine uma profundidade em metros qualificada ou incorreta na pressão estimado pela solução aproximada de 0,01%.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiramente, temos que:

d p d h = ρ g

E v = d p d ρ ρ

Logo:

d p = ρ g d h = E v d ρ ρ

d ρ ρ 2 = g E v d h

Resolvendo a equação diferencial:

ρ - ρ 0 ρ ρ 0 = g h E v

Logo:

ρ = E v ρ 0 E v - g h ρ 0 → ρ ρ 0 = 1 + ρ 0 g h E v

Agora, para ρ 0 g h E v ≪ 1 ,   vamos usar a expansão binomial:

ρ = ρ 0 + b h  

Onde:

b = ρ 0 2 g E v

Como d p = ρ g d h ,   aproximando a expressão para a pressão como função da profundidade, teremos:

p a p r o x - p a t m = ∫ 0 h ρ 0 + b h g   d h  

p a p r o x = p a t m + g h 2 ρ 0 + b h 2 = p a t m + ρ 0 h + b h 2 2 g

Agora, temos que substituir a expressão do b :

p a p r o x = p a t m + ρ 0 g h   1 + ρ 0 g h 2 E v  

Logo, para obtermos p h   exato :

p e x a t o - p a t m = ∫ ρ 0 ρ E v ρ   d ρ = E v ln ⁡ ρ ρ 0  

Resolvendo, teremos:

p e x a t o = p a t m + E v ln ⁡ 1 - ρ 0 g h E v - 1

Se chamarmos x = ρ 0 g h E v   para o erro ser 0,01%, temos que:

∆ p e x a t o - ∆ p a p r o x ∆ p e x a t o = 1 - ρ 0 g h 1 + x 2 E v ln ⁡ 1 - x - 1 = 0,001

Usando algum programa para resolver a equação:

x = 0,01728

Isolando o h   e substituindo os valores:

h = x E v ρ 0 g = 4262,5 m

Resposta

b = ρ 0 2 g E v

p a p r o x - p a t m = ∫ 0 h ρ 0 + b h g   d h  

h = 4262,5 m

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