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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 50

Um viscosímetro simples mede o tempo t para que uma esfera sólida caia uma distância L no interior de um fluido de teste, de massa específica r . A viscosidade μ do fluido é dada então por

μ ≈ P l i q t 3 π D L                 s e                     t ≥ 2 ρ D L μ

em que D é o diâmetro da esfera e P l í q é o peso líquido da esfera no fluido.

(a) Prove que ambas as fórmulas são dimensionalmente homogêneas.

(b) Considere uma esfera de alumínio com diâmetro de 2,5   m m (massa específica 2.700   k g / m 3 ) caindo em um óleo de massa específica 875   k g / m 3 . Se o tempo para cair 50   c m é 32   s , calcule a viscosidade do óleo e verifique se a inequação é válida.

Passo 1

Primeiro vamos fazer um esquema da nossa questão para ilustrar nosso problema:

Nossa questão nos pede para provarmos a equivalência na dimensão das inequações e verificarmos seu uso para as condições dadas!

Passo 2

a)

Vamos começar organizando as equações.

μ ≈ P l i q t 3 π D L ⇒ k g ⋅ m s 2 ⋅ s 1 ⋅ m ⋅ m = N ⋅ s m 2 → u n i d a d e   d e   v i s o s i d a d e   n o   S . I

t ≥ 2 ρ D L μ ⇒ 1 ⋅ k g m 3 ⋅ m ⋅ m k g m ⋅ s = s → u n i d a d e   d e   t e m p o   n o   S . I

As dimensões estão corretas para ambas inequações

Passo 3

b)

Vamos verificar o uso das equações.

P l í q = ρ e s f - ρ f l u ⋅ g ⋅ V f l u = 2700 - 875 k g m 3 ⋅ 9,81 m s 2 ⋅ π ⋅ 0,0025 3 6 m 3

P l í q = 0,000146   N

Então a viscosidade será:

μ ≈ P l i q t 3 π D L = 0,000146   N ⋅ 32   s 3 π ⋅ 0,0025 m ⋅ 0,5 m = 0,4   k g m ⋅ s

Agora temos que a inequidade do tempo, vamos matar essa questão de vez?

t ≥ 2 ρ D L μ → 32   s ≥   2 ρ D L μ

2 ρ D L μ = 2 ⋅ 875   k g m 3 ⋅ 0,0025 m ⋅ 0,5 m 0,4   k g m ⋅ s ≈ 5,5   s

A equação é válida tendo em vista que o tempo encontrado é menor que 32 segundos.

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a) As dimensões estão corretas para ambas inequações

b) A equação é válida tendo em vista que o tempo encontrado é menor que 32 segundos.

μ = 0,4   k g m ⋅ s ,   t = 5,5   s .

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