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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 24

Um campo de velocidade é dado por V → = a x t î   -   b y j ^ , em que a   =   0,1   s - 2 e b   =   1   s - 1 . Para a partícula que passa pelo do ponto ( x ,   y )   =   ( 1 ,   1 ) no instante t   =   0   s , trace a trajetória durante o intervalo de t   =   0   s a t   =   3   s . Comparea com as linhas de corrente traçadas através do mesmo ponto nos instantes t   =   0 ,   1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a trajetória da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Temos que as trajetórias são dadas por:

u = d x d t = a x t v = d y d t = - b y

Onde:

a = 0 , 1   s - 2 b = 1   s - 1

Separando as variáveis:

d x x = a t   d t d y y = - b   d t

Integrando:

ln ⁡ x = 1 2 a t 2 + c 1

Realizando os cálculos necessários, temos:

x = x 0 e a 2 t 2

Para y :

ln ⁡ y = y 0 e - b t

y = e - t

Passo 2

Para a equação das linhas de corrente:

v u = d y d x = - - b y a x t d y y = b t a t d x x  

Integrando: ln ⁡ y = - b a t t ln ⁡ x + C y = C x - b a t

Passo 3

Por fim, vamos obter a expressão para t = 0 , temos:

y = c

Já para t = 1   s , logo:

y = x - 10

E para t = 2   s :

y = x - 5

Portanto, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

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