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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 34

Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade V =   a i   +   b x j   , em que a   =   2   m / s e b   =   1   s   - 1 . As coordenadas são medidas em metros. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto ( 2 ,   5 ) . E m   t   =   2   s , quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto ( 0 ,   4 )   em t   =   0 ? E m   t   =   3   s , quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto ( x ,   y )   =   ( 1 ,   4 ,   25 ) ? Que conclusões você pode tirar a respeito da trajetória, linha de corrente e de emissão para esse escoamento?

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar a equação para as linhas de corrente, para isso, temos:

v u = d y d x = b x a

Separando as variáveis e integrando:

x   d x = a b d y a b y - y 0 = 1 2 ( x 2 - x 0 2 )

y = y 0 + b 2 a ( x 2 - x 0 2 )

Logo, a solução é dada por:

y = x 2 4 + 4

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = a v = d y d t = b x

Separando as variáveis e integrando:

d x = a   d t x - x 0 = a t - t 0 x = x 0 + a t - t 0

d y = b x   d t

y = y 0 + b x 0 t - t 0 + a 2 t 2 - t 0 2 - a t 0 t - t 0

Logo, as posições são dadas por:

x p t = x 0 + a t - t 0 y p ( t ) = y 0 + b x 0 t - t 0 + a 2 t 2 - t 0 2 - a t 0 t - t 0

Com isso, precisamos encontrar a posição da partícula nos instantes pedidos. Para x 0 , y 0 = ( 0,4 ) , t 0 = 0 e t = 2   s , temos:

x p t = x 0 + a t - t 0 = 4   m y p ( t ) = y 0 + b x 0 t - t 0 + a 2 t 2 - t 0 2 - a t 0 t - t 0 = 2   m

Para x 0 , y 0 = ( 1   ,   4,25 ) , t 0 = 1 s e t = 3   s :

x p t = x 0 + a t - t 0 = 5   m y p ( t ) = y 0 + b x 0 t - t 0 + a 2 t 2 - t 0 2 - a t 0 t - t 0 = 10   m

Podemos concluir que as linhas de corrente, de trajetória e emissão coincidem, logo, as partículas dadas são as mesmas.

Passo 3

Por fim, nosso gráfico fica assim:

Resposta

x p 2 = 4   m y p ( 2 ) = 2   m

x p 3 = 5   m y p ( 3 ) = 10   m

Podemos concluir que as linhas de corrente, de trajetória e emissão coincidem, logo, as partículas dadas são as mesmas.

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