Intensidade de Radiação

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Teoria

Introdução

Vamos começar olhando para um objeto que está emitindo radiação, beleza?

Essas setinhas nos indicam o caminho que a radiação está fazendo… Mas então quer dizer que a radiação não é uniforme e atua em diferentes direções? Exatamente!!

A radiação emitida por uma superfície plana para o hemisfério acima dela depende da direção da radiação em relação a essa superfície.

Sendo assim, vamos precisar de algo que descreva a magnitude da radiação, seja emitida ou incidente sobre uma superfície, em uma determinada direção do espaço. A grandeza que irá descrever essa magnitude é justamente intensidade de radiação I .

Sabe quando a gente tá com um espelhinho na mão e a luz reflete no espelhinho e aparece uma claridade em um lugar diferente dependendo do ângulo que o espelho está? É mais ou menos esse o espírito da coisa!!

Vamos dar uma olhada nesse esquema:

Imagina que temos dois espelhos, um na nossa mão e outro na parede e dependendo de como eu posiciono o espelho que está na minha mão eu vou ter θ 1 e θ 2 diferentes!

Agora vamos pegar um exemplo de radiação!! Vamos considerar uma pequena superfície com área A 1 = 10 - 4   m 2 , que emite difusamente com um poder emissivo hemisférico total de E 1 = 5 × 10 4   W / m 2 , essa superfície é representada pela estrela.

Em um mundo ideal, se todas as superfícies no mundo emitissem radiação da mesma forma em todas as direções, a potência emissiva resolveria sem muitos problemas a nossa vida, mas não é bem isso que acontece na vida real.

O que queremos saber aqui é: a que taxa q essa emissão é interceptada por uma superfície com área A 2 = 5 × 10 - 4   m 2 , representada por um retângulo na figura acima?

Além disso, qual é a irradiação sobre A 2 ?

Olha só, nesse problema a gente tem a normal n 1 , fazendo um ângulo θ 1 na superfície emissiva em relação a radiação que está sendo emitida, e a normal n 2 , fazendo um ângulo θ 2 na superfície interceptada pela emissão… Além disso, o exemplo diz pra gente que a distância de uma superfície para a outra é de r 2 , beleza?

Bom, mas antes de qualquer coisa, vamos precisar arranjar uma forma de quantificar adequadamente a direção com que essa radiação está sendo emitida.

Ângulo Sólido ω

Para que a nossa vida fique mais tranquila, a melhor forma de especificar a direção com que a radiação está sendo emitida é utilizando coordenadas esféricas. Assim, a ideia é basicamente essa:

Tá lembrado de coordenadas esféricas? Observando a figura, vemos quais as coordenadas que trabalhamos nesse caso! Temos o ângulo de zênite, que varia 0 ≤ θ ≤ π , o ângulo de azimute, que varia 0 ≤ φ ≤ 2 π e teremos a terceira coordenada que será dada pelo raio que será a distância até o centro.

Porém, só essas não são suficientes pra gente resolver os problemas de intensidade de radiação… É que estamos trabalhando com duas áreas diferentes, então precisamos que alguma ajuda que indique uma relação entre essas áreas… Adivinha só quem vai fazer esse papel?

O ângulo sólido! Ele é composto pelos ângulos θ (ângulo de zênite) e φ (ângulo de azimute) que usamos para as coordenadas esféricas!

O ângulo sólido é definido da seguinte forma:

A unidade do ângulo sólido e o “steradian” s r ou esfera radiano.

Pra entender melhor, vamos fazer uma comparação com o ângulo plano que estamos mais acostumados!! Se temos um ângulo α a gente pode associar ele a um comprimento de arco ( l ), certo?

Podemos dizer então que:

l = r . α

Então, assim como o ângulo plano está associado ao comprimento de um arco, o ângulo sólido está associado a uma área superficial A sobre a qual a radiação está incidindo, beleza? Dessa forma aqui:

d A = r 2 . d ω

d ω = d A r 2

Bom, mas e se essa área não for exatamente perpendicular à direção radial do nosso sistema de coordenadas, fazendo um ângulo α com o mesmo… Bom, aí podemos escrever que:

Voltando agora ao nosso problema, a direção normal da área A 2 está fazendo um ângulo de 30 ° com a direção de emissão da radiação. Tanto A 1 como A 2 são muito pequenas em relação a entre elas, por isso podemos tratá-las como infinitesimal. Portanto vamos assumir que d A = A 2 , que é a área que está recebendo a radiação.

Assim, o ângulo sólido será dado por:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . c o s   θ 2   r 2

E substituindo nossas informações:

d ω 1 → 2 = 5 × 10 - 4 × c o s   30 °   0,5 2

“Beleza, mas como esse ângulo está associado com a taxa de energia de radiação que a área A 1 emite sobre a área A 2 ?”

Muito boa a pergunta!

Intensidade de Radiação I e

A intensidade de radiação para a radiação emitida I e θ , ϕ é definida como a taxa de energia emitida d q e por unidade de área e unidade de ângulo sólido, nesta direção:

W / m 2 . s r

Como não temos o valor da intensidade de radiação nem da taxa de troca de energia é necessário encontrar a intensidade de radiação a partir do poder emissivo, beleza?

O fluxo de radiação d q e / d A para a radiação emitida é a potência emissiva E . Se observarmos o hemisfério acima da superfície plana que está emitindo radiação, essa potência emitida pode ser calculada da seguinte forma:

W / m 2

“Então vou ter sempre que calcular essa integral?”

Bom, no caso de uma superfície que tenha uma emissão difusa (como é o nosso caso), a intensidade de radiação é constante (saindo da integral), não dependendo da direção. Nesse caso, a potência emissiva será dada por:

E = π . I e

Voltando ao nosso problema, como o mesmo já nos deu a potência emissiva, podemos calcular a intensidade da radiação emitida pela área A 1 , que será dada por:

I 1 = E 1 π = 5 × 10 4 π

I 1 = 1,591 × 10 4 W m 2 . s r

Se usarmos a definição de intensidade de radiação, podemos calcular a taxa de energia passada da superfície 1 para superfície 2 da seguinte forma:

Substituindo os valores:

q = 1,591 × 10 4 × 10 - 4 × c o s   60 °   × 1,732 × 10 - 3

Ainda temos que falar sobre a Irradiação G

Irradiação G é como definimos o fluxo de radiação incidente sobre uma superfície de todas as direções.

Vamos definir a irradiação de uma forma muito semelhante a como fizemos anteriormente com o poder emissivo, a diferença é que agora vamos usar a intensidade de radiação incidente I i θ , ϕ .

Dessa forma, temos que:

W / m 2

Assim, como antes, se a radiação incide na superfície difusa, podemos dizer que:

Vamos lembrar que o nosso exemplo também pediu a irradiação na superfície 2, ok? Nesse caso, as coisas vão ser mais tranquilas porque, como já calculamos a taxa de energia trocada entre as superfícies q , a irradiação será dada por:

G = q 1 → 2 A 2 = 1,378 × 10 - 3 5 × 10 - 4

Radiosidade J

Quando a radiação incide sobre uma superfície, parte dela é refletida. Dessa forma, a radiação total que deixa uma superfície é a soma das radiações emitida e refletida pela mesma… Dá uma olhadinha nesse esquema que dá pra visualizar melhor:

Temos uma superfície que está absorvendo e refletindo radiação ao mesmo tempo… E se a gente quantificar apenas uma energia de radiação deixando a superfície, ao invés de separar esses dois? Chegaremos assim na radiosidade J , que é a taxa de energia que deixa uma unidade de área em todas as direções.

Podemos expressá-la da seguinte forma:

W / m 2

Onde I e + r é a soma das intensidades de radiação emitida e refletida. Dessa forma, se novamente tivermos uma superfície difusa que seja uma emissora e uma refletora, a radiosidade será dada por:

Agora já podemos partir pros exercícios!

Ângulo Sólido ω

Intensidade de Radiação I e

Ainda temos que falar sobre a Irradiação G

Radiosidade J

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma pequena superfície estacionária de área A 1 = 10 - 4 m 2 emite difusamente com uma intensidade total de I e = 100   W / ( m 2 . s r ) .

Uma segunda superfície de área equivalente A 2 = 10 - 4   m 2 está localizada a uma distância fixa de r = 0,5   m de A 1 . A linha de conexão entre as duas superfícies permanece perpendicular a A 1 , enquanto A 2 gira a uma frequência angular θ ˙ 2 = d θ 2 / d t = 2   r a d / s .

Qual é a quantidade de energia interceptada pelos dois lados de A 2 durante uma volta completa?

Passo 1

A taxa de energia emitida por A 1 e interceptada por A 2 é dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . d ω 1 → 2

Como as dimensões das placas são muito menores do que a distância entre elas, podemos tratar o ângulo sólido da seguinte forma:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Assim, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Além disso, como a linha que liga as duas placas é perpendicular à placa A 1 , θ 1 = 0 ° → cos ⁡ θ 1 = 1 . Logo:

q = I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Passo 2

O problema nos pediu pra calcular a energia interceptada pela placa A 2 em uma volta completa.

A taxa de energia de radiação que calculamos no Passo 1 pode ser escrita como:

q = d E d t → Δ E = ∫ 0 T q . d t

Substituindo a expressão que encontramos no Passo 1:

Δ E = ∫ 0 T I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2 . d t

Nessa expressão, somente θ 2 varia com o tempo, onde a velocidade angular é dada por:

θ ˙ 2 = d θ 2 d t → d t = d θ 2 θ ˙ 2

Na hora de definir os limites de integração, temos que ter muito cuidado aqui!

Em uma volta completa, o ângulo entre a linha que liga as duas placas e a linha normal à placa 2 irá variar de 0 a π / 2 quatro vezes. Sendo assim, podemos fazer os limites integração 0 ≤ θ 2 ≤ π / 2 e multiplicar a expressão inteira por 4.

Extamos fazendo isso porque, se fizermos o ângulo variando entre 0 e 2 π , a integral será igual a zero, e serio o mesmo que dizer que nenhuma energia interceptou a placa 2, o que estaria errado.

Sendo assim:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2

Passo 3

Fazendo a integral:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2 = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 . sen ⁡ θ 2 0 π / 2

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2

Substituindo os valores:

Δ E = 4 × 100 × 10 - 4 2 . 10 - 4 0,5 2

Resposta

Δ E = 8 × 10 - 6   J

Exercício Resolvido #2

Uma fornalha com uma abertura de 20   m m de diâmetro e poder emissivo de 3,72 × 10 5   W / m 2 é usada para calibrar um medidor de fluxo térmico que tem uma área sensora de 1,6 × 10 - 5   m 2 .

a A qual distância, medida ao longo da normal a partir da abertura, o sensor deve ser posicionado para receber uma irradiação de 1000   W / m 2 ?

b Se o sensor for inclinado para fora da normal em 20 ° , qual será a sua irradiação?

Passo 1

a A qual distância, medida ao longo da normal a partir da abertura, o sensor deve ser posicionado para receber uma irradiação de 1000   W / m 2 ?

Vamos primeiro entender o problema: repara que o sensor está posicionado de frente pra abertura da fornalha. Então a “linha” que une essas duas superfícies passa exatamente pela normal deles, de modo que θ = 0 ° .

Aí em cima indicamos também a A 1 , calculada a partir do diâmetro dado, a A 2 dada e o E 1 dado.

E a gente quer saber qual deve ser a distância L entre a abertura da fornalha e o sensor para que a irradiação recebida pelo sensor G seja igual a 1000   W / m 2 .

Passo 2

Então vamos colocar isso em fórmulas.

A irradiação entre a fornalha e o sensor pode ser escrita como:

G = q f → s A s

Onde a taxa de calor que sai da fornalha e atinge o sensor é dada por:

q f → s = I f . A f . cos ⁡ θ f . ω f → s

Supondo que as áreas do sensor e a abertura na fornalha sejam muito menores que a distância entre elas, o ângulo sólido pode ser calculado da seguinte forma:

ω f → s = A s . cos ⁡ θ s L 2

Além disso, considerando que a fornalha emite calor difusamente, a intensidade de radiação I f será dada por:

I f = E π

Assim, substituindo tudo isso na expressão da taxa de energia de radiação, teremos que:

q f → s = E π . A f . cos ⁡ θ f . A s . cos ⁡ θ s L 2

Passo 3

Reorganizando os termos da equação que encontramos no passo anterior:

L = E . A f . cos ⁡ θ f . A s . cos ⁡ θ s q f → s . π

Onde a taxa de energia de radiação é dada por:

G = q f → s A s             →           q f → s = G . A s

Dessa forma, a distância entre as placas será:

L = E . A f . cos ⁡ θ f . A s . cos ⁡ θ s G . A s . π

L = E . A f . cos ⁡ θ f . cos ⁡ θ s G . π

Onde:

A f = π . D f 2 4 = π . 20 . 10 - 3 2 4 → A f = 3,14 . 10 - 4   m 2

θ f = 0 ° → cos ⁡ θ f = 1

θ s = 0 ° → cos ⁡ θ s = 1

Substituindo os valores:

L = 3,72 . 10 5 . 3,14 . 10 - 4 1000 . π

L = 0,193   m

Passo 4

b Se o sensor for inclinado para fora da normal em 20 ° , qual será a sua irradiação?

Agora a gente já sabe a distância entre as superfícies, então só precisa girar um pouquinho o sensor assim:

Nesse caso, a irradiação será dada por:

G = G 0 . cos ⁡ θ s = 1000 . cos ⁡ 20 °

Resposta

a L = 193   m m

b G = 940   W / m 2

Exercício Resolvido #3

Uma pequena fonte de radiação A 1 emite difusamente com uma intensidade I 1 = 1,2 × 10 5   W / ( m 2 . s r ) . O detector de radiação A 2 está alinhado normal à fonte a uma distância de L 0 = 0,2   m .

Uma tela opaca está posicionada na meta de do caminho entre A 1 e A 2 para impedir que a radiação da fonte atinja o detector. A pequena superfície A m é um espelho difuso perfeito que permite que a radiação emitida pela fonte seja refletida para o detector.

a Calcule a potência radiante incidente em A m devido à emissão a partir da fonte A 1 , q 1 → m   W .

b Supondo que a potência radiante, q 1 → m seja refletida perfeita e difusamente, calcule a intensidade deixando A m , I m   W / ( m 2 . s r ) .

c Calcule a potência radiante incidente em A 2 devida à radiação refletida deixando A m , q m → 2   ( μ W ) .

Passo 1

a Calcule a potência radiante incidente em A m devido à emissão a partir da fonte A 1 , q 1 → m   W .

A potência radiante que sai de A 1 e atinge A m é dada por:

q 1 → m = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . ω 1 , m

Supondo que as áreas A 1 e A m sejam muito menores que a distância entre elas, o ângulo sólido pode ser calculado da seguinte forma:

ω 1 , m = A m . cos ⁡ θ m r 2 = A m . cos ⁡ θ m x 0 2 + y 0 2

Onde θ 1 = 45 ° e θ m = 180 ° - θ 1 = 45 ° .

Voltando à expressão da potência radiante:

q 1 → m = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . A m . cos ⁡ θ m x 0 2 + y 0 2

Substituindo os valores:

q 1 → m = 1,2 × 10 5 × 10 - 4 × cos ⁡ 45 ° × 2 × 10 - 4 × cos ⁡ 45 ° 0,1 2 + 0,1 2

q 1 → m = 0,06   W

Passo 2

b Supondo que a potência radiante, q 1 → m seja refletida perfeita e difusamente, calcule a intensidade deixando A m , I m   W / ( m 2 . s r ) .

Se a radiação for refletida difusa e perfeitamente, a intensidade de radiação que deixará A m será:

I m = E π = q 1 → m π . A m = 60 × 10 - 3 π × 2 × 10 - 4

Passo 3

c Calcule a potência radiante incidente em A 2 devida à radiação refletida deixando A m , q m → 2   ( μ W ) .

A potência radiante pode ser escrita da seguinte forma:

q m → 2 = I m . A m . cos ⁡ θ m . ω 2 , m

Onde o ângulo sólido pode ser aproximado por:

ω 2 , m = A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2 = A 2 . cos ⁡ θ 2 L 0 - x 0 2 + y 0 2

Assim, a potência radiante será:

q m → 2 = I m . A m . cos ⁡ θ m . A 2 . cos ⁡ θ 2 L 0 - x 0 2 + y 0 2

Substituindo os valores:

q m → 2 = 95,5 × 2 × 10 - 4 × cos ⁡ 45 ° × 10 - 4 × cos ⁡ 45 ° 0,2 - 0,1 2 + 0,1 2

q m → 2 = 47,8 × 10 - 6   W

Resposta

a q 1 → m = 60   m W

b I m = 95,5   W / ( m 2 . s r )

c q m → 2 = 47,8   μ W

Exercício Resolvido #4

De acordo com a sua distribuição direcional, a radiação solar que incide sobre a superfície terrestre pode ser dividida em duas parcelas. A parcela direta, que é constituída por raios paralelos que incidem em um ângulo fixo θ , e a parcela difusa, formada por radiação que pode ser aproximada como sendo distribuída de forma difusa em relação a θ .

Considere condições de céu claro nas quais a radiação direta incide com um ângulo θ = 30 ° , com um fluxo total (baseado na área normal aos raios) de q d i r ' ' = 1000   W / m 2 , e a intensidade total de radiação difusa é de I d i f = 70   W / ( m 2 . s r ) .

Qual é o valor da irradiação solar total na superfície terrestre?

Passo 1

A irradiação total é dada pela somas das irradiações direta e difusa, logo:

G = G d i r + G d i f

A irradiação direta é dada por:

G d i r = q d i r ' ' . cos ⁡ θ

Enquanto a irradiação difusa é dada por:

G d i f = π . I d i f

Portanto:

G = q d i r ' ' . cos ⁡ θ + π . I d i f

Passo 2

Substituindo os valores:

G = 1000 × cos ⁡ 30 ° + π × 70

G = 866 + 220

Resposta

G = 1086   W / m 2

Exercício Resolvido #5

Em um dia encoberto, a distribuição direcional da radiação solar que incide na superfície terrestre pode ser aproximada por uma expressão na forma I i = I n . cos ⁡ θ , onde I n = 80   W / ( m 2 . s r ) é a intensidade total da radiação normal à superfície e θ é o ângulo de zênite.

Qual é a irradiação solar na superfície terrestre?

Passo 1

Por definição, a irradiação é dada por:

G = ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = 0 π / 2 I i θ , ϕ . cos ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ

Onde I i = I n . cos ⁡ θ . Logo:

G = I n ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ

Como os termos da integral dependem somente de θ , podemos resolver a integral da seguinte forma:

G = I n ∫ ϕ = 0 2 π d ϕ ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ

Passo 2

A primeira integral será igual a 2 π .

G = 2 π . I n . ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ

Para resolver a segunda integral, vamos fazer uma integração por substituição, onde :

u = cos ⁡ θ → d u = - sen ⁡ θ d θ  

Logo:

G = - 2 π . I n . ∫ u 2 . d u = - 2 π . I n . u 3 3

G = - 2 π . I n . cos 3 ⁡ θ 3 0 π / 2

G = - 2 π . I n . - 1 3

G = 2 π I n 3

Onde I n = 80   W / ( m 2 . s r ) , logo:

G = 2 π × 80 3

Resposta

G = 167,55   W / m 2

Exercício Resolvido #6

A distribuição espectral da radiação emitida por uma superfície difusa pode ser aproximada como segue.

a Qual é o poder emissivo total?

b Qual é a intensidade total da radiação emitida na direção normal e em um ângulo de 30 ° em relação à normal?

c Determine a fração do poder emissivo total deixando a superfície nas direções π / 4 ≤ θ ≤ π / 2 .

Passo 1

a Qual é o poder emissivo total?

Como o problema está nos dando a distribuição em função de comprimentos de onda, o poder emissivo total será dado por:

E = ∫ 0 ∞ E λ . d λ

E = ∫ 0 5 0 d λ + ∫ 5 10 100 d λ + ∫ 1 0 1 5 200 d λ + ∫ 15 20 100 d λ + ∫ 2 0 ∞ 0 d λ

E = 100 × 10 - 5 + 200 × 15 - 10 + 100 × 20 - 15

Passo 2

b Qual é a intensidade total da radiação emitida na direção normal?

Tratando a superfície como difusa, a intensidade de radiação será dada por:

I e = E π = 2000 π

Passo 3

c Determine a fração do poder emissivo total deixando a superfície nas direções π / 4 ≤ θ ≤ π / 2 .

O que estamos querendo calcular aqui é:

E π 4 → π 2 E = ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = π / 4 π / 2 I e . cos ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ π I e

Como a intensidade de radiação é constante:

E π 4 → π 2 E = ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = π / 4 π / 2 cos ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ π

As integrais podem ser separadas em:

E π 4 → π 2 E = ∫ ϕ = 0 2 π d ϕ . ∫ θ = π / 4 π / 2 cos ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ π

Onde a primeira integral será igual a 2 π e a segunda integral pode ser resolvida por substituição, onde:

u = sen ⁡ θ → d u = cos ⁡ θ d θ

Dessa forma:

E π 4 → π 2 E = 2 π . ∫ u . d u π

E π 4 → π 2 E = 2 . u 2 2 = u 2 = sen 2 ⁡ θ π / 4 π / 2

E π 4 → π 2 E = 1 2 - 2 2 2

Resposta

a E = 2000   W / m 2

b I e = 637   W / ( m 2 . s r )

c E π 4 → π 2 / E = 0,5

Exercício Resolvido #7

(Adaptado) Durante o tratamento térmico por radiação de um material na forma de uma fina película hemisférica é mantida por uma pressão de ar relativamente baixa. A irradiação sobre a película é devida à emissão de um aquecedor radiante com área A a = 0,0052   m 2 , que emite de forma difusa com uma intensidade I e , a = 169000   W / ( m 2 . s r ) .

Obtenha uma expressão para a irradiação sobre a película como um função do ângulo de zênite θ .

Passo 1

A irradiação sobre a superfície infinitesimal d A s está associada com a taxa de energia por radiação da seguinte forma:

G = q a → s d A s

Onde a taxa de energia por radiação é dada por:

q a → s = I e , a . A a . cos ⁡ θ . ω s , a

Onde o ângulo sólido é dado por:

ω s , a = d A s . cos ⁡ θ s R 2 = d A s R 2

Finalmente, a irradiação será:

G = 1 d A s . I e , a . A a . cos ⁡ θ . d A s R 2

Resposta

G = I e , a . A a . cos ⁡ θ R 2

Exercício Resolvido #8

(Adaptado) Uma pequena fonte de calor radiante com área A 1 = 2 × 10 - 4   m 2 emite difusamente com uma intensidade I 1 = 1000   W / ( m 2 . s r ) . Uma segunda área pequena, A - 2 = 1 × 10 - 4   m 2 está localizada como mostrado no esboço a seguir.

Determine a irradiação de A 2 para L 2 = 0,5   m .

Passo 1

A irradiação de A 2 é dada por:

G = q 1 → 2 A 2

Onde a taxa de calor que sai da fornalha e atinge o sensor é dada por:

q 1 → 2 = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . ω 1,2

Como as áreas são muito menores que a distância entre elas, o ângulo sólido pode ser calculado da seguinte forma:

ω 1,2 = A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Dessa forma, a irradiação será dada por:

G = 1 A 2 . I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

G = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . cos ⁡ θ 2 r 2

Passo 2

Onde:

θ 1 = θ 2 = θ = tan - 1 ⁡ L 1 L 2 = tan - 1 ⁡ 1 0,5 = 63,43 °

r 2 = L 1 2 + L 2 2 = 1 2 + 0,5 2

r 2 = 1,25   m 2

Dessa forma, a irradiação será:

G = I 1 . A 1 . cos 2 ⁡ θ r 2 = 1000 × 2 × 10 - 4 × cos 2 ⁡ 64,43 ° 1,25

Resposta

G = 0,032   W / m 2

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