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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 39

Uma pequena superfície de área A = 1   c m ² é submetida a uma radiação incidente de intensidade constante I i = 2,2 × 10 4   W / m 2 . s r ao longo de todo hemisfério. Determine a taxa em que a energia de radiação está incidindo sobre a superfície por meio de (a) 0 ≤ θ ≤ 45 ° e (b) 45 ° ≤ θ ≤ 90 ° , quando θ é o ângulo que o feixe de radiação faz com a normal da superfície.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • A intensidade da radiação incidente é constante.

De posse dessa característica, podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

(a) A taxa de radiação incidente por unidade de área de superfície na direção ( θ φ ) é dada por:

d G = d Q ˙ i d A = I i θ , φ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ   d φ

A taxa total de emissão de radiação através da faixa entre 0 ° e 45 ° pode ser expressa por:

G 1 = ∫ φ = 0 2 π ∫ θ = 0 45 I i θ , φ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ   d φ = I i π 2

Desde que a radiação incidente seja constante, e:

∫ φ = 0 2 π ∫ θ = 0 45 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ   d φ = 2 π ∫ θ = 0 45 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = π sen 2 ⁡ 45 - sen 2 ⁡ 0 = π 2

Aproximando uma área pequena como uma área diferencial, a taxa de energia de radiação emitida de uma área de 1   c m ² em uma faixa especificada é:

Q ˙ i , 1 = G 1 d A = 0,5 π I i d A = 0,5 π 2,2 × 10 4   W / m 2 . s r 10 - 4   m 2 = 3,46   W

Passo 2

(b) De maneira análoga, a taxa total de emissão de radiação através do feixe entre 45 ° e 90 ° é dada por:

G 2 = ∫ φ = 0 2 π ∫ θ = 45 90 I i θ , φ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ   d φ = I i π 2

Uma vez que:

∫ φ = 0 2 π ∫ θ = 45 90 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ   d φ = 2 π ∫ θ = 45 90 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = π sen 2 ⁡ 90 - sen 2 ⁡ 45 = π 2

Então, por fim:

Q ˙ i , 2 = G 2 d A = 0,5 π I i d A = 0,5 π 2,2 × 10 4   W / m 2 . s r 10 - 4   m 2 = 3,46   W

Resposta

a   Q ˙ i , 1 = 3,46   W

b   Q ˙ i , 2 = 3,46   W

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