Enunciado

Considere uma abertura de 10   m m de diâmetro onde a radiação é emitida como um corpo negro com poder emissivo de 2,87 × 10 - 5   W / m ² . O sensor de radiação é posicionado com 30 ° de inclinação fora do sentido normal da visão, como mostrado na Fig. P12-42. Considerando que o sensor estiver sentindo a irradiação de 50   W / m ² , determine a distância entre a abertura e o sensor.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • A abertura emite difusa como um corpo negro.
  • Ambos abertura e sensor podem ser aproximados como superfícies diferenciais desde que ambos sejam muito pequenos se comparados ao quadrado da distância entre eles.

De posse dessas características, podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

Aproximando ambos abertura ( A 1 ) e sensor ( A 2 ) como superfícies diferenciais, o ângulo sólido subentendido por A 2 quando visto por A 1 pode ser determinado por:

ω 2 - 1 ≅ A n , 2 L 2 = A 2 cos ⁡ θ 2 L 2

A radiação emitida por A 1 que atinge A 2 é equivalente à radiação emitida por A 1 através de um ângulo sólido ω 2 - 1 . A intensidade da radiação emitida por A 1 é dada por:

I 1 = E b π

Portanto, a taxa de energia de radiação emitida por A 1 na direção de θ 1 através do ângulo sólido ω 2 - 1 é determinado multiplicando I 1 pela área de A 1 normal a θ 1 e o ângulo sólido ω 2 - 1 , isso é:

Q ˙ 1 - 2 = I 1 ( A 1 cos ⁡ θ 1 ) ω 2 - 1

Sabe-se que A 1 = π D 1 2 / 4 , e a irradiação é a taxa na qual a radiação é incidente na superfície por unidade de superfície, então a irradiação medida pelo detector de radiação A 2 é:

G 2 = Q ˙ 1 - 2 A 2

Passo 2

Agora, faremos apenas manipulações matemáticas, substituindo as 3 primeiras equações do passo anterior na última equação, e logo após, rearranjaremos a equação resultante para que possamos explicitar a nossa variável de interesse, L :

G 2 = E b ( A 1 cos ⁡ θ 1 ) cos ⁡ θ 2 π L 2

L = E b πD ² cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 4 π G 2 1 / 2

Teremos θ 1 = 0 e θ 2 = 30 ° , e consequentemente, a distância L será:

L = ( 2,8 7 × 10 - 5   W / m 2 ) ( 0,01   m 2 ) ( 1 ) √ 3 2 4 ( 50   W / m 2 ) 1 / 2

L = 0 , 353   m

Resposta

L = 0 , 35 3   m

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