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Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Teoria

Introdução

Vamos ver aqui o que geram as forças descritas pela Lei de Coulomb: os chamados campos elétricos.

A carga positiva pode ser entendida como um chafariz que expele água e a carga negativa como um ralo por onde a água escoa. De forma análoga, as linhas de campo elétrico saem das cargas positivas e entram nas cargas negativas.

Calma, logo você vai entender melhor!

Vamos começar olhando para a Lei de Coulomb

Se liga nesse exemplo!

Se tivermos duas cargas, Q 1 e Q 2 , separadas por uma distância d , então podemos calcular a força de atração ou de repulsão por meio da lei de Coulomb:

| F 21 → = | F 12 → = F = K . | Q 1 | .   | Q 2 | d 2   ,

onde F 21 representa a força que Q 2 faz sobre Q 1 , e F 12 representa a força que Q 1 faz sobre Q 2 , beleza?

Para começar, vamos observar apenas a carga Q 1 , reescrevendo a lei de Coulomb de forma a isolar a carga desse corpo:

F 21 = K . Q 1 .   Q 2 d 2 = Q 1 . K . Q 2 d 2 = Q 1 . E 21 .

Na equação acima, denominamos E 21 o módulo do campo elétrico que a carga Q 2 gera no ponto em que está a carga Q 1 . Note que E 21 depende apenas da carga Q 2 e da distância d entre as cargas.

Como eu te falei, o campo elétrico é uma grandeza vetorial. Assim, temos que encontrar a direção e o sentido do vetor campo elétrico E 21 → .

Como a força e o campo são grandezas vetoriais, temos:

Q 1 . E 21 → = F 21 →

Note que a carga Q 1 é positiva. Assim, o sentido e a direção do campo elétrico são idênticos aos da força que a carga Q 2 exerce na carga Q 1 .

No caso da carga negativa, ocorre o oposto:

Q 2 . E 12 → = F 12 →

Como a carga Q 2 é negativa, a direção do campo elétrico E 12 →   é igual à direção da força que a carga Q 1 exerce na carga Q 2 , mas os sentidos são opostos.

Temos, então, a seguinte situação:

Podemos então notar que:

  • O campo E 12 → gerado pela carga positiva (carga Q 1 ) aponta para fora dela.
  • O campo E 21 → gerado pela carga negativa (carga Q 2 ) aponta para dentro dela.

Um detalhe importante:

Como F → = q . E → , fica fácil determinar as unidades do campo elétrico no S.I:

E → = F → q

Como a força é expressa em Newton N , a carga é expressa em Coulombs C , temos que o campo elétrico é expresso em “Newton por Coulombs” N C .

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva

Temos aqui uma carga elétrica puntiforme positiva (e solitária):

O campo elétrico gerado por Q 1 num ponto P situado nos arredores dessa carga é dado por:

E → 1 = K . Q 1 d 2 . n ^

Onde d é a distância da carga até o ponto P .

Observe que o vetor n ^ unitário radial aponta “para fora” da carga Q 1 .

Logo, as linhas de campo elétrico “saem” da carga Q 1 > 0 , apontando para fora, como indicado pelas setas azuis.

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa

Vamos agora dar uma olhada na carga solitária negativa:

O caso é parecido e aqui o campo elétrico gerado por Q 2 e que atua num ponto P será dado por:

E → 2 = K . Q 2 d 2 . n ^

Porém, como agora a carga é negativa, então o sentido do vetor E → 2 se inverte em relação ao caso da carga positiva: as linhas de campo elétrico “entram” na carga Q 2 , como indicado pelas setas laranjas.

Resumindo...

Temos, então, uma diferença básica entre campos gerados por cargas positivas e os gerados por cargas negativas:

  • Cargas positivas “cospem” o campo elétrico.

    • As cargas positivas podem ser comparadas a um chafariz, que solta água em todos os seus arredores.

  • Cargas negativas “sugam” o campo elétrico.

As cargas negativas se comportam como um ralo, que suga a água dos seus arredores.

Superposição de campos elétricos

Lá na Lei de Coulomb aplicamos o princípio da superposição para casos onde tínhamos mais de duas cargas interagindo.

Esse mesmo princípio também pode ser aplicado a campos elétricos.

Vamos analisar a seguinte situação: temos uma carga positiva e outra negativa interagindo no vácuo. A boa de hoje é calcular o campo elétrico resultante dessa configuração no ponto P , de acordo com a figura abaixo.

Olá!

Vamos iniciar dando nomes aos bois nesse nosso exemplo:

Q 1 = - 1   n C = - 10 - 9   C

Q 2 = + 2   n C = 2 × 10 - 9   C

d 1 = 3   m

d 2 = 2   m

Vamos, agora, calcular o vetor campo elétrico gerado por cada uma dessas cargas no ponto P , ok?

E 1 → = K 0 . Q 1 d 1 2 . n ^ = 9 × 10 9 × - 10 - 9 3 2 . n ^ = - 3   n ^   N C

E 2 → = K 0 . Q 2 d 2 2 . n ^ = 9 × 10 9 × 2 × 10 - 9 2 2 . n ^ = 9   n ^   N C

Para as duas cargas, o vetor unitário que tomamos é o mesmo: um vetor de módulo n ^ = 1 , que aponta para a direita, como mostra a figura abaixo. Saca só!

Sendo assim, o campo elétrico resultante será a soma vetorial de todos os campos elétricos, logo:

E R → = E 1 → + E 2 →

E R → = - 3   n ^   N C + 9   n ^   N C

E R → = 6   n ^ N C

Show! Para fechar: e se colocássemos uma carga q = 3 C exatamente no ponto P , qual seria, nesse caso, a força resultante que age sobre ela?

Bom, poderíamos fazer isso calculando a força que cada carga exerceria sobre a nossa carga q e depois calcular a força resultante, ou podemos simplesmente utilizar o valor do campo elétrico resultante no ponto P , que nós acabamos de calcular.

Dessa forma, a força resultante sobre a carga q seria:

F R → = q . E R →

F R → = 3 × 6 = 18   n ^   N

Entendeu numa boa? #PartiuExercitar

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa

Resumindo...

Superposição de campos elétricos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 43-3.

Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50   c m de distância tem um módulo igual a 2,0 N C ?

Passo 1

Substituir na fórmula do campo elétrico:

E = K . q d 2 → 2 N C = 9.10 9 . q 50.10 - 2 2 → q = 2 . 50.10 - 2 2 9.10 9 C = 0,0555 … n C

Resposta

q =   0,0555 . . .   n C

Exercício Resolvido #2

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Uma carga puntiforme q 1 = + 8   n C está na origem e uma segunda carga puntiforme q 2 = + 12,0   n C está no eixo x em x = 4,0   m . Determine o campo elétrico no eixo y em y = 3,0   m .

Passo 1

Sejam E → 1 e E → 2 respectivamente os campos gerados por q 1 e q 2 .

O campo elétrico total vai ser E → = E → 1 + E → 2 , sendo que E → 1 tem componente apenas no eixo y enquanto E → 2 tem componentes no eixo x e y .

O que a gente tem nesse problema é tipo isso aqui

O módulo do campo elétrico devido a uma carga pontual é

E = k q d 2

Vamos usar essa formulazinha pra calcular o campo elétrico em y = 3   m devido a cada uma das cargas puntiformes.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o módulo do campo elétrico em y = 3,0   m devido à carga q 1

E 1 = k q 1 3 2

E 1 = 7,99   N / C

Pela imagem do enunciado, percebemos que E → 1 tem componentes apenas no eixo y , logo E → 1 x = 0 e E → 1 y = 7,99   N / C .

Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico devido à carga q 2

E 2 = k q 2 5 2

E 2 = 4,32   N / C

Na imagem, vemos que E → 2 tem uma componente negativa no eixo x e uma positiva no eixo y . Elas são dadas por

E → 2 x = - 4,32 × s e n θ = - 3,46   N / C

E → 2 y = 4,32 × cos ⁡ θ = 2,59   N / C

Ah, lembrando que s e n θ = 4 5 e que cos ⁡ θ = 3 5 , por trigonometria.

Passo 3

Agora, podemos finalmente calcular o campo elétrico total E → . Suas componentes em cada eixo vão ser

E → x = E → 1 x + E → 2 x = - 3,46   N / C

E → y = E → 1 y + E → 2 y = 10,6   N / C

O módulo de E → vai ser

E = E x 2 + E y ² = 11,2   N / C

E, finalmente, vamos calcular o ângulo entre E → e o eixo x

∅ = t a n - 1 E y E x = 108 °

Agora já temos o módulo do nosso vetor campo elétrico e o ângulo que ele faz com o eixo x , logo, temos o campo elétrico total em y = 3   m :)

Resposta

E = 11,2   N / C ,   108 °

Exercício Resolvido #3

UFF-Física II-Lista de Exercícios n°1.

Três cargas de 1,0   n C estão dispostas como mostra a figura. Cada uma das cargas cria um campo elétrico E em um ponto diretamente à frente da carga central e a 3,0   c m da mesma.

a ) Quais são os três campos E 1 , E 2 e E 3 criados, respectivamente, pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos como um vetor em função das componentes correspondentes.

b ) O campo elétrico satisfaz o princípio da superposição, logo, existe um “campo resultante” neste ponto dado por E r e s = E 1 + E 2 + E 3 . Calcule o valor deste campo.

Passo 1

a )

Para resolver essa questão, vamos adotar o sistema de coordenadas usual:

Lembrando que uma carga genérica q produz um campo igual a:

E → = k . q r 2 r ^

Agora é só analisar os três casos, lembrando que o campo elétrico “sai” das cargas positivas. Vamos para a primeira carga q 1 !

Passo 2

Para a carga q 1 , teremos duas componentes, uma em x , que será positiva, e uma em y , que será negativa, dá uma olhada!

E x → = E 1 . cos ⁡ θ = E 1 . 3 3 2 + 1 2   i ^  

E y → = E 1 . sen ⁡ θ = E 1 . 1 3 2 + 1 2   ( - j ^ )

Para determinar o módulo de E 1 , basta usar a fórmula, se liga!

E = k . q r 2

E 1 = 9 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2

E 1 = 9,0 × 10 3   N / C

Agora é só substituir e determinar as componentes!

E x → = E 1 . 3 10   i ^ = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ = 8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = E 1 . 1 10   - j ^ = 9,0 × 10 3 . 1 10   - j ^ = 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

A resultante E 1 → fica:

E 1 → = E x → + E y →

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

Agora vamos para q 3 !

Passo 3

Para q 3 , é bem mais simples, temos apenas a componente x . Utilizando a fórmula, temos:

E 3 → = k . q r 2   i ^ = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 × 10 - 2 2   i ^ = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

Bora agora pra q 2 , que é bem parecida com q 1 . Simbora acabar com isso!

Passo 4

Para q 2 , temos uma situação bem parecida com q 1 , só que agora, a componente y será positiva. Temos então:

E x → = E 2 . cos ⁡ θ = E 2 . 3 3 2 + 1 2   i ^

E y → = E 2 . sen ⁡ θ = E 2 . 1 3 2 + 1 2   j ^

Vamos primeiro determinar E 2 , depois é só substituir!

E 2 = k . q r 2 = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2 = 9,0 × 10 3   N / C

Substituindo, temos:

E x → = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ =   8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = 9,0 × 10 3 . 1 10   j ^ = 2,85 × 10 3   j ^   N / C

A resultante E 2 → fica:

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

Passo 5

b )

Para achar a resultante, basta somar os vetores que achamos no item anterior!

E → r e s = E 1 → + E 2 → + E 3 →

Substituindo, temos:

E → r e s = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^ + 1,0 × 10 4   i ^ + 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^  

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Resposta

a )  

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

E 3 → = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

b )

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 34

Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo O x , uma no ponto x = a a outra no ponto x = - a . Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo O x .

Passo 1

Começar desenhando o problema é sempre uma boa:

Beleza. À partir do desenho, podemos perceber que temos três regiões críticas:

  1. x < - a
  2. - a < x < a
  3. x > a

Não podemos tentar calcular o campo “em cima” de uma das cargas pois a distância dela para si mesma seria zero, o que resultaria numa divisão por zero na fórmula do campo. Beleza? Vamos agora calcular para cada um dos casos.

Passo 2

A expressão para o campo de uma carga puntiforme é a seguinte:

E → = k q r 2 r ^

Onde r é a distância do ponto que queremos até a carga. Como as duas cargas são positivas vamos ter dois campos divergentes:

Mas a única linha de campo que nos interessa agora é a que está em cima do eixo x :

- Para - a < x < a :

A contribuição da carga em x = - a é positiva (aponta para o sentido positivo de O x ), já a da carga em x = a é negativa. A fórmula é:

E → = k q r 2 r ^

Perceba que um ponto x dentro deste intervalo

Aqui vamos ter os termos referentes à cada uma das cargas, ok? Sendo o termo da esquerda referente à carga da esquerda e o termo da direta a carga da direita. Então substituindo:

E x = k q a + x 2 - k q a - x 2

E x = k q 1 a + x 2 - 1 a - x 2

Desenvolvendo:

E x = k q a - x 2 a + x 2 a - x 2 - a + x 2 a - x 2 a + x 2

E x = k q a - x 2 - a + x 2 a + x 2 a - x 2

E x = k q a 2 - 2 a x + x 2 - ( a 2 + 2 a x + x 2 ) a + x 2 a - x 2  

Cancelando os termos da subtração:

E x = k q - 4 a x a + x 2 a - x 2

Aqui já temos uma resposta bem razoável, mas ainda dá pra simplificar um pouco esse denominador fazendo

a + x 2 a - x 2 = a + x a - x a + x a - x

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 a 2 - x 2

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 2

Aí o campo fica

E x = k q - 4 a x a 2 - x 2 2

Se quiser pode substituir o k = 1 4 π ϵ 0 :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Passo 3

- Para x > a , as duas cargas produzem um campo que aponta na direção positiva de x (para direita):

A carga da esquerda está a uma distância ( x + a ) do nosso ponto x enquanto que a carga da direita está a uma distância ( x - a ) , assim

E x = k q x + a 2 + k q x - a 2 = k q 1 x + a 2 + 1 x - a 2

E x = k q x - a 2 x + a 2 x - a 2 + x + a 2 x - a 2 x + a 2

Novamente aqui já temos uma resposta válida, mas é sempre bom simplificar o máximo possível para aquele professor chato né? =P

Lembrando que no denominador podemos escrever x + a 2 x - a 2 = x 2 - a 2 2 ! Expandindo os caras de cima

E x = k q x 2 + 2 x a + a 2 + x 2 - 2 x a + a 2 x 2 - a 2 2 = k q 2 x 2 + 2 a 2 x 2 - a 2 2

Substituindo o k , finalmente temos

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Passo 4

- Para x < - a , os campos produzidos pelas duas cargas apontarão para esquerda, ou seja, cada um deles será negativo.

Como x < 0 , a distância do nosso ponto x até a carga da esquerda é ( a + x ) (lembrando que x < 0 ) e da carga da direita é ( a - x ) , assim

E x = - k q a - x 2 - k q a + x 2 = - k q 1 a - x 2 + 1 a + x 2

Essa conta no parênteses grande é igualzinha à conta do passo anterior, então vamos ter como resultado

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

E fim de papo.

Resposta

Para - a < x < a :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Para x > a :

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Para x < a :

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

Exercício Resolvido #5

Considere um eneágono (polígono de nove lados) regular, com partículas de carga q em cada um de seus vértices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma partícula de carga - q no centro do polígono.

a) - 9 k q 2 a 2 x ^

b) 9 k q 2 a 2 x ^

c) - 8 k q 2 a 2 x ^

d ) 8 k q 2 a 2 x ^

e) k q 2 a 2 x ^

f) - k q 2 a 2 x ^

Passo 1

Cara, essa é uma das questões mais sacanas da história porque ela é fácil, mas só se você souber a sacada...

Beleza, ele quer a força elétrica no centro. Vamos decompor os vetores todos e somar? Não! Repare que ele deixou um dos nove lados vazio...

Utilizando a simetria do problema (o polígono é regular, isso quer dizer que os lados e os ângulos são todos iguais) temos que, se puséssemos uma carguinha q no espaço que falta, a soma das forças na carga - q no centro seria zero:

F → r e s t o + F → c a r g u i n h a = 0 →

Ou seja, a força que o enunciado pede é dado por

F → r e s t o = - F → c a r g u i n h a

Passo 2

A força que a carguinha faz (ou faria, se nós puséssemos ela lá) nós sabemos calcular:

F → c a r g u i n h a = k q 2 a 2 x ^

Isso por que a nossa carguinha atrai a a carga do centro, então a força na carga do centro aponta para a direita ( x ̂ ) e a distância entre elas é a .

Passo 3

Dessa forma, temos que a força que o resto das oito cargas fazem é só trocar o sinal do campo da carguinha:

F → r e s t o = - k q 2 a 2 x ^

Resposta

Letra F

Exercício Resolvido #6

UFRJ-Prova Final-2015.1-Múltipla Escolha n°5.

O mostrador de um relógio analógico, circular tem partículas com cargas positivas q , 2 q , 3 q e 4 q nas posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio não perturbam o campo eletrostático criado por tais partículas.

A que horas o ponteiro das horas aponta na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?

a 3 horas e 30 minutos.

b 4 horas e 30 minutos.

c 8 horas e 30 minutos.

d 10 horas e 30 minutos.

e 1 hora e 30 minutos.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos tentar visualizar as coisas, ok?

Assim, considerando as coordenadas usuais (eixos x y como na figura acima), os campos elétricos gerados por cada carga serão dados por:

E → 1 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^

E → 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^

E → 3 = 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^

E → 4 = 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^

Assim, o campo elétrico resultante será dado por:

E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^ + 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^ + 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^ + 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - 1 + 3 x ^ + 2 - 4 y ^

Finalmente:

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 x ^ - 2 y ^

E → = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 x ^ - y ^

Passo 2

Vamos encontrar primeiro o ângulo que indica a direção do vetor campo elétrico:

t g θ = - 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 = - 1

Como o c o s   θ > 0 , temos que:

θ = 315 °

Graficamente, o campo elétrico resultante vai ter essa cara:

Ok, mas que a horas correspondem 135 ° ?

O relógio possui 12 marcações, assim, o ângulo entre cada marcação será dado por:

θ = 360 ° 12

θ = 30 °

Logo, fazendo uma regra de 3, teremos:

1   h o r a → 30 °

x   h o r a s → 135 °

Portanto:

x = 135 30 = 4,5   h o r a s

Finalmente, o ângulo de 135 ° corresponde a 4 horas e 30 minutos.

A resposta certa é a letra b .

Resposta

b 4 horas e 30 minutos.

Exercício Resolvido #7

UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO – Adaptada.

Quatro partículas carregadas são fixadas sobre os vértices de um quadrado de lado a , como mostrado na figura abaixo. Suas cargas estão indicadas. Qual é o campo eletrostático produzido pelas quatro partículas no centro do quadrado?

Passo 1

Bom, vamos começar a estudar este exercício considerando a figura abaixo, em que identificamos as cargas de mesmo sinal com a mesma cor. Vamos dizer que q > 0 , para facilitar a nossa discussão, mas o mesmo valerá para o caso em que q < 0 .

Na figura acima, representamos o centro do quadrado pelo ponto P . Este ponto está a uma mesma distância a 2 / 2 de cada uma das cargas. Como q > 0 , os campos gerados por essas cargas em laranja sobre o ponto P são de afastamento, como indicam os vetores de mesma cor.

Já as outras cargas - q < 0 (portanto negativas), produzem campos de aproximação (vetores em verde), também representados na figura. Os vetores em verde e laranja possuem mesmo módulo, ou seja, eles têm o mesmo tamanho. Na figura, representamos esses vetores com tamanhos diferentes apenas para facilitar a visualização, ok? Mas não se esqueça, como todas as quatro cargas têm o mesmo módulo e estão nos vértices à mesma distância de P , o tamanho dos vetores é o mesmo!!

Fica claro da figura que, ao somarmos os vetores, no ponto P teremos um campo resultante    E → R ≠ 0 . Portanto, no centro do quadrado, existe um campo elétrico diferente de zero e nosso próximo passa será calcular explicitamente o seu módulo.

Passo 2

Como todos os módulos dos quatro campos elétricos são iguais no ponto P , basta calcularmos o módulo de um deles, projetar na direção y e multiplicar o resultado por 4, Blz??

Por isso, o módulo do campo resultante   E → R no ponto P é dado por

E → R = 4 E → cos ⁡ 45 ˚ = 4 q 4 π ε 0 a 2 2 2 cos ⁡ ( 45 ˚ ) .

Como cos ⁡ 45 ˚ = 2 / 2 , temos que o valor do campo resultante no ponto P é:

E → R = 2 q π ε 0 a 2 .

A direção e sentido do vetor   E → R está indicado na Figura.

Resposta

| E → R | = 2 q π ε 0 a 2   .

Exercício Resolvido #8

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 21.106, pp. 39.

Duas cargas são colocadas como indica a Figura abaixo. O módulo da carga q 1 é 3,0   μ C , porém não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga q 2 . O campo elétrico resultante   E → no ponto P aponta para o sentido negativo do eixo O y .

  1. Dados a direção e o sentido de  E → , determine os sinais das cargas q 1 e q 2 ;

  2. Determine o valor do módulo da carga q 2   ;

  3. Calcule o módulo do campo elétrico E → .

Passo 1

a) É importante que a gente se lembre de que o campo elétrico produzido por cargas positivas é um campo de afastamento e que campos gerados por cargas negativas são campo de aproximação. Ou seja, o campo produzido pela carga positiva tem um vetor que se afasta da carga, enquanto para a negativa, o campo que ela cria tem um vetor que se aproxima dela.

No caso colocado no exercício, como   E → representa vetor campo elétrico resultante no ponto P devido às cargas q 1 e q 2 , então, essas cargas só podem ser negativas. Se qualquer uma dessas cargas for positiva, ou ambas positivas, a direção e/ou o sentido do campo resultante   E → será diferente do que está na Figura acima. Portanto, devemos ter que

q 1 < 0     e     q 2 < 0   ,

como está representado na Figura, com os respectivos campos produzidos no ponto P .

Passo 2

b) Agora, como o campo elétrico resultante   E → tem apenas componente na direção y , podemos escrever, considerando a geometria lá da Figura, para as direções x e y :

x :   E → 1 cos ⁡ θ 1 = E → 2 cos ⁡ ( θ 2 )     ;

y :     E → = E → 1 s e n θ 1 + E → 2 s e n θ 2   .

Uma relação que ajuda a gente bastante aqui vem de notar que, como temos um triângulo retângulo, vale que

θ 1 + θ 2 = π 2   ⇒   θ 1 = π 2 - θ 2   ,

que dá o seguinte

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ π 2 - θ 2 = s e n θ 2   .

Substituindo essa relação trigonométrica que encontramos lá na expressão da direção x , chegamos a

x :     E → 2 = E → 1 tan ⁡ θ 2   .

Dessa expressão, podemos encontrar o valor de | E → 1 | , pois temos os valores da carga q 1 e da distância d 1 dessa carga até o ponto P . Como queremos obter o valor da carga negativa q 2 e o valor de d 2 e θ 2 são conhecidos, podemos expressar | q 2 | como:

E → 2 = | q 2 | 4 π ε 0 d 2 2 = | q 1 | 4 π ε 0 d 1 2 tan ⁡ θ 2 ⇒ | q 2 | = d 2 2 tan ⁡ θ 2 d 1 2 | q 1 |   .

Da Figura, a gente vê que tan ⁡ θ 2 = 5 / 12 . Substituindo esse valor e tomando os valores dados no enunciado, temos

q 2 = - 7,2   μ C   .

Passo 3

c) Substituindo

E → 2 = E → 1 tan ⁡ ( θ 2 )

na expressão que a gente obteve para a direção y , obtemos que | E → | é dado por

E → = E → 1 s e n θ 1 + s e n θ 2 tan ⁡ θ 2     .

Como θ 1 = π 2 - θ 2 , temos que s e n θ 1 = cos ⁡ ( θ 2 ) . Substituindo na expressão acima

E → = E → 1 cos ⁡ θ 2 + s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ 2   ⇒ E → = E → 1 cos ⁡ θ 2   .

Colocando os valores dados no exercício, temos

E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C     .

Resposta

  1. q 1 < 0     e     q 2 < 0   ;  

  2. q 2 = - 7,2   μ C   ;

  3. E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C   .

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