Classificação de Trajetórias
Teoria
Existe uma outra utilidade para o cálculo de energia além de somente usar o princípio da conservação.
Seja um sistema que contenha somente um planeta e o Sol. A energia total pode ser calculada da seguinte maneira:
Outra maneira de expressar a energia ao invés de em função da velocidade e da distância à estrela é em função do momento angular () e da distância. Se liga:
Portanto, com algumas informações sobre o sistema conseguimos o valor da energia.
Mas e aí? O que fazer com esse valor?
Podemos relacionar a energia com a trajetória que o planeta está seguindo, saca só:
- – O sistema é ligado, ou seja, ele faz uma trajetória fechada, sendo uma circunferência ou uma elipse.
- – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma parábola.
- – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma hipérbole.
Os parâmetros das curvas podem ser obtidos com um pouco de conhecimento de geometria analítica e com os seguinte passos:
- Colocar o Sol na origem do sistema cartesiano;
- Substituir por ;
- Equacionar a relação de modo que fique na forma de uma das cônicas conhecidas.
Normalmente nas provas são pedidas questões conceituais sobre esse assunto mas, mesmo assim, não deixe de praticar.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a .
Agora, considere também um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas.
Sabendo que a energia total do projétil é e seu momento angular é .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Passo 1
O enunciado nos informa que:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Passo 2
Analisando o potencial efetivo temos:
Utilizando o dado do enunciado de que :
O mínimo dessa função ocorre quando a derivada é igual a zero:
Isso quer dizer que ou . Como a primeira é impossível então ficamos com:
Passo 3
O enunciado nos disse que a condição inicial para o projétil é de que . Ou seja, como o planeta está na origem do sistema de coordenadas, isso quer dizer que o projétil está a uma distância de 2 do planeta, em outras palavras, ele inicia com uma órbita de raio 2. Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Resposta
A forma geométrica que descreve a trajetória é elíptica
Exercício Resolvido #2
USP-P3-2014-3
Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a . Expresse seus resultados em função de onde for necessário.
O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por onde e são os versores dos eixos e , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.
Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens , e , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é e .
Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.
Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.
O planeta agora é uma esfera de raio com densidade que varia radialmente de a de acordo com
Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).
Passo 1
Lembrando que o momento angular pode ser calculado por:
O vetor nós já temos:
E o vetor velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição:
Substituindo no momento angular:
Podemos reescrever como:
Lembrando que no produto vetorial, a multiplicação de vetores paralelos é nula. Logo . Sobrando apenas:
Pela regra da mão direita:
Passo 2
Nessas novas condições conseguimos observar que pouca coisa mudou. Segundo o enunciado, o vetor velocidade continua sendo e o vetor posição inicial se tornou , isso nos leva a crer que o vetor posição seja:
Logo, somente a componente na direção do vetor mudou com relação ao item anterior, e sabendo que esta componente é paralela à velocidade (não contribuindo, portanto, ao momento angular), temos que o momento angular é o mesmo do item anterior.
A energia total do projétil é:
Onde é a energia cinética e é a energia potencial gravitacional, que a grandes distâncias é dada por . Vamos aplicar ao nosso problema agora:
Onde e
Passo 3
No item anterior encontramos:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Analisando o potencial efetivo temos:
Lembrando que no item anterior, confirmamos que o momento angular continua .
O mínimo dessa função ocorre quando:
Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Passo 4
Temos que e são perpendiculares entre si. Em uma órbita elíptica, essa situação ocorre somente nas distâncias e . Como , concluímos que . A origem, onde o planeta está localizado, é um dos pontos focais da elipse.
Passo 5
Na superfície do planeta a energia total do projétil é:
A velocidade de escape é aquela que resulta na anulação da energia potencial gravitacional que puxa o projetil de volta para a terra, ou seja:
Resposta
A órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
