03. Uma partícula de massa está confinada, em uma dimensão, por um poço de potencial retangular, limitado à esquerda por uma barreira impenetrável (fig.), correspondendo ao potencial

.

onde .

Para , escreva as soluções estacionárias de energia da equação de Schrödinger dentro e fora do poço de potencial.

Aplicando as condições de contorno, demonstre que os autovalores da energia são as raízes da equação

Vamos primeiro encontrar as soluções da região . Nessa região temos o seguinte:

Então:

Vamos simplificar essa expressão fazendo:

Então temos:

As soluções dessa equação são as mesmas de um poço de potencial, da seguinte forma:

Agora vamos encontrar a solução para a região . Nessa região temos o seguinte:

Então:

Vamos simplificar essa expressão fazendo:

Não tem problema o sinal ficar dentro da raiz já que .

Então temos:

As soluções dessa equação são as mesmas de uma barreira de potencial (Eq. ), da seguinte forma:

Mas se você repara o segundo termos diverge quando , e isso não pode acontecer já que na região temos , logo a função tem que ser zero, então . Então:

Pronto encontramos as soluções estacionárias.

Agora vamos aplicar as condições de contorno e tentar chegar na relação do item .

Como mostrei no passo temos:

Vamos aplicar a primeira condição, temos:

Então temos que:

Agora vamos aplicar a segunda condição, temos:

Aplicando a segunda condição, temos:

Agora dividindo a expressão que encontramos anteriormente por essa que encontramos, ficamos com:

Sabendo que:

E que:

Temos o seguinte:

Agora lembrando que , temos:

Prontinho, conseguimos mostrar o que o item queria.