Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 3b
3b – Calcule os valores esperados de p e de p2 de uma partícula no estado n=2, num poço de potencial retangular.
Passo 1
O parâmetro p, que é o momento linear da partícula, é definido em relação ao comprimento de onda da partícula, conforme a relação de Broglie, que é escrito da seguinte forma:
Onde,
-p é momento linear da partícula;
-h é a constante de Planck, h=6,626x10-34 J.s;
-λ é comprimento de onda da partícula;
O comprimento de onda pode ser escrito em termos dos níveis de energia, o número quântico n, e do comprimento, L, do poço de potencial retangular, que é mais chamado de uma partícula dentro de uma caixa.
Assim, para o momento linear:
Passo 2
Vamos relembrar que o momento linear p de qualquer partícula em uma caixa para qualquer nível de energia n é nulo, devido ao fato de que a mínima energia permitida em um sistema é
Onde, m é a massa da partícula.
Para provarmos que este momento linear p é sempre zero, podemos calcular a partir do momento linear médio através da função distribuição de probabilidade, cuja expressão é
Onde,
-ψ é a função de onda de probabilidade de encontrar a partícula;
-x é a posição da partícula dentro da caixa que varia de 0 a L.
O produto pψ pode ser estimado pela relação da Eq. de Schrödinger que é:
Passo 3
Vamos derivar então em função de x e lembrando que a derivada de uma função seno resulta em uma função cosseno, assim
Substituindo essa relação na integral:
Sendo que ψ é definido como:
Assim,
Passo 4
Resolvendo a integral:
Como se trata de uma caixa retangular (poço de potencial retangular), assim, você deve integrar no intervalo de 0 até L
Então você vai ter que resolver a seguinte integral definida
Vamos então resolve-la:
Lembrando das técnicas de integração, você pode se lembrar da técnica de substituição simples em que você pode faz uma substituição na função para facilitar a integração, substituindo por uma função em que se conheça a sua integral.
Para essa integral nós podemos chamar:
Onde a é
Assim, substituindo as funções na integral por u e du
Essa uma integral fácil de se resolver cuja solução dela é
Substituindo u pela função definida
Passo 5
Substituindo os valores definidos:
Assim,
Assim sendo você pode ver que o momento linear p é função de sen(nπ), e vamos lembrar de trigonometria de que para uma função seno, aplicada nos pontos nπ, com n assumindo valores inteiros, tal como n=1, 2, 3, ..., a função seno é sempre nula para esses valores.
Portanto para qualquer valor de n, que só assume valores inteiros, inclusive n=2, a função sen2(nπ) é nula:
Logo,
Passo 6
Para o momento linear p2 podemos utilizar a relação da Eq1 que é quantidade mínima de energia permitida no sistema, assim para p2:
Para n=2: