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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 9

9. A solução mais simples, com nodos, da equação de Schrödinger para auto-estados s do átomo de H e q .   ( 10.116 ) é da forma

φ r = A r + B exp ⁡ ( - κ r )

Procure uma solução dessa forma. Mostre que o nível de energia correspondente (estado 2 s ) é idêntico ao 1 º estado excitado na teoria de Bohr.

Passo 1

Então estamos com mais um problema em mãos e nós vamos conseguir resolvê-lo.

Quando o enunciado pede uma solução daquela forma ele quer que encontremos valores para A e B para que φ ( r ) seja solução da equação 10.116 do livro, dada por:

d 2 φ d r 2 + 2 r d φ d r + 2 a 0 r φ - K 2 φ

Onde K = κ 2 = 1 / n a 0 , onde a 0 é o raio do átomo de Bohr.

O enunciado fala de considerarmos o estado 2 s , isso significa que n = 2 e l = 0 .

Então para encontrar A e B vamos pegar a sugestão de resposta que o enunciado deu e substituir na equação 10.116 .

Para mostrar a segunda coisa pedida no enunciado vamos usar o fato de que:

E = ℏ 2 m K 2

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as derivadas presentes na equação.

Temos que:

d φ d r = A e - κ r - ( A r + B ) e - κ r

d 2 φ d r 2 = - A κ e - κ r - A κ e - κ r + A r + B κ 2 e - κ r

= - 2 A κ e - κ r + A r + B κ 2 e - κ r

Agora vamos substituir na equação, temos:

- 2 A κ e - κ r + A r + B κ 2 e - κ r + 2 r A e - κ r - A r + B e - κ r + 2 a 0 r A r + B e - κ r -

- κ 2 A r + B e - κ r = 0

Simplificando, ficamos com:

- 4 A κ e - κ r + 2 r A e - κ r - 2 r B κ e - κ r + 2 a 0 A e - κ r + 2 a 0 r B e - κ r = 0

⇒ - 2 A κ + 1 r A - 1 r B κ + 1 a 0 A + 1 a 0 r B = 0

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que κ = 1 / 2 a 0 , temos:

- A a 0 + 1 r A - 1 r B 1 2 a 0 + 1 a 0 A + 1 a 0 r B = 0

⇒ - A a 0 + 1 r A + 1 a 0 A = 1 r B 1 2 a 0 - 1 a 0 r B

⇒ 1 r A = B 1 r a 0 1 2 - 1

Então temos que:

B = - 2 A a 0

Passo 4

Agora vamos substituir o que sabemos de B e κ na expressão que chegamos em 2 e encontrar A , assim:

- 2 A 1 2 a 0 + 1 r A - 1 r - 2 A a 0 1 2 a 0 + 1 a 0 A + 1 a 0 r ( - 2 A a 0 ) = 0

⇒ - A 1 a 0 + A 1 r + A 1 r + A 1 a 0 - A 2 r = 0

Com isso encontramos que

0 = 0

Então A pode assumir qualquer valor constante, então vamos fazer que A = 1 para termos um resultado simples e não trivial. Com isso temos que:

A = 1

B = - 2 a 0

Então temos que:

φ r = N r - 2 a 0 e - r 2 a 0

Onde N é um a constante de normalização.

Passo 5

Temos que a energia para esse estado é dada por:

E = ℏ 2 m K 2

Fazendo K = 1 / 2 a 0 , temos:

E = ℏ 8 m a 0

Que é igual ao primeiro estado fundamental do átomo de hidrogênio segundo a teoria de Bohr.

Resposta

φ r = N r - 2 a 0 e - r 2 a 0

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