9. A solução mais simples, com nodos, da equação de Schrödinger para auto-estados s do átomo de H e q .( 10.116 ) é da forma φ r = A r + B exp ⁡ ( - κ r ) Procure uma solução dessa forma. Mostre que o nível de energia correspondente (estado 2 s ) é idêntico ao 1 º º estado excitado na teoria de Bohr.

Enunciado

Então estamos com mais um problema em mãos e nós vamos conseguir resolvê-lo.

Quando o enunciado pede uma solução daquela forma ele quer que encontremos valores para e para que seja solução da equação do livro, dada por:

Onde , onde é o raio do átomo de Bohr.

O enunciado fala de considerarmos o estado , isso significa que e .

Então para encontrar e vamos pegar a sugestão de resposta que o enunciado deu e substituir na equação .

Para mostrar a segunda coisa pedida no enunciado vamos usar o fato de que:

Vamos primeiro encontrar as derivadas presentes na equação.

Temos que:

Agora vamos substituir na equação, temos:

Simplificando, ficamos com:

Agora vamos usar o fato de que , temos:

Então temos que:

Agora vamos substituir o que sabemos de e na expressão que chegamos em e encontrar , assim:

Com isso encontramos que

Então pode assumir qualquer valor constante, então vamos fazer que para termos um resultado simples e não trivial. Com isso temos que:

Então temos que:

Onde é um a constante de normalização.

Temos que a energia para esse estado é dada por:

Fazendo , temos:

Que é igual ao primeiro estado fundamental do átomo de hidrogênio segundo a teoria de Bohr.