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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 8

08. Para o movimento num potencial unidimensional V ( x ) , demonstre que, em qualquer estado Ψ ,

m d d t x ^ 2 Ψ = x ^ p ^ + p ^ x ^ Ψ

Passo 1

Vamos detonar com essa questão juntos, vem comigo!

Para demonstrar isso essa igualdade vamos usar a equação 9.27 do livro dada por:

d d t Â Ψ = 1 i ℏ  , H ^ Ψ

Onde  é operador que estamos trabalhando no caso x ^ 2 .

O operador H ^ (hamiltoniano) é dado por:

H ^ = - ℏ 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + V x I ^

Mas uma coisa que vai nos ajudar nesse problema é escrever o hamiltoniano em termos do operador momento, da seguinte maneira:

H ^ = p ^ 2 2 m + V x I ^

Onde

p ^ = - i ℏ ∂ ∂ x

Vamos então domar esse problema.

Passo 2

Temos o seguinte:

m d d t x ^ 2 Ψ = m 1 i ℏ x ^ 2 , H ^ Ψ

= m i ℏ x ^ 2 , H ^ Ψ

Em um primeiro momento vamos nos concentrar em calcular o comutador x ^ 2 , H ^ , depois jogamos ele na nossa expressão.

Temos:

x ^ 2 , H ^ = x ^ x ^ , H ^ + x ^ , H ^ x ^

Agora substituindo o operador H ^ , temos:

x ^ x ^ , p ^ 2 2 m + V x I ^ + x ^ , p ^ 2 2 m + V x I ^ x ^

= x ^ 1 2 m x ^ , p ^ 2 + V x x ^ ,   I ^ + 1 2 m x ^ , p ^ 2 + V x x ^ ,   I ^ x ^

Dessa expressão já podemos dizer que x ^ ,   I ^ = 0 já que o operador identidade comuta com tudo, logo temos que:

x ^ 2 , H ^ = x ^ 2 m x ^ , p ^ 2 + 1 2 m x ^ , p ^ 2 x ^

Passo 3

Agora temos que saber o comutador x ^ , p ^ 2 , temos o seguinte:

x ^ , p ^ 2 = x ^ , p ^ p ^ + p ^ x ^ , p ^

Segundo o livro temos que:

x ^ , p ^ = i ℏ

Então temos que:

x ^ , p ^ 2 = 2 i ℏ p ^

Passo 4

Agora vamos substituir esse resultado na última expressão que encontramos e ir voltando até achar o que queremos, temos então que:

x ^ 2 , H ^ = x ^ 2 m 2 i ℏ p ^ + 1 2 m 2 i ℏ p ^ x ^

= i ℏ m x ^ p ^ + p ^ x ^

Assim temos:

m d d t x ^ 2 Ψ = m i ℏ i ℏ m x ^ p ^ + p ^ x ^ Ψ

= x ^ p ^ + p ^ x ^ Ψ

Prontinho, mostramos o que o enunciado queria.

Resposta

Demonstração acima.

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