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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 5

5. Calcule ρ e j para o estado estacionário de energia E de uma partícula livre

Ψ E x ,   t = C + e x p ⁡ ( i p x / ℏ ) + C -   e x p ⁡ ( - i p x / ℏ ) e x p ⁡ ( - i E t / ℏ )

Passo 1

Fala aí! Vamos para mais uma? Vem comigo então que vai dá tudo certo.

De forma direta o que o problema quer é a densidade de probabilidade ρ e a corrente de probabilidade j , essas grandezas podem ser encontradas da seguinte maneira:

ρ = Ψ ( x , t ) 2

E

j ( x , t ) = ℏ 2 m i Ψ * ∂ Ψ ∂ x - ∂ Ψ * ∂ x Ψ

Então vamos o trabalho!

Passo 2

Vamos começar a calcular ρ , temos o seguinte:

ρ = Ψ ( x , t ) 2

= C + e i p x ℏ + C - e - i p x ℏ e - i E t ℏ ⋅ C + * e - i p x ℏ + C - * e i p x ℏ e i E t ℏ

= C + 2 + C - 2 + C + C - * e 2 i p x ℏ + C - C + * e - 2 i p x ℏ

Mas não podemos deixar dessa forma, pois por definição densidade de probabilidade é um número real, então queremos apenas a parte real dos dois últimos termos, então temos que:

ρ = C + 2 + C - 2 + 2 R e C + C - e 2 i p x ℏ

Passo 3

Agora vamos calcular a densidade de corrente, temos os seguintes:

j ( x , t ) = ℏ 2 m i Ψ * ∂ Ψ ∂ x - ∂ Ψ * ∂ x Ψ

Da para perceber que vai ficar uma coisa bem grande, então vamos efetuar cada produto primeiro e depois realizar a subtração.

Vamos fazer primeiro Ψ * ∂ Ψ ∂ x , temos:

Ψ * ∂ Ψ ∂ x = C + * e - i p x ℏ + C - * e i p x ℏ e i E t ℏ ⋅ ∂ ∂ x C + e i p x ℏ + C - e - i p x ℏ e - i E t ℏ

= C + * e - i p x ℏ + C - * e i p x ℏ e i E t ℏ ⋅ i p ℏ C + e i p x ℏ - i p ℏ C - e - i p x ℏ e - i E t ℏ

= i p ℏ C + 2 - i p ℏ C - 2 - i p ℏ C + * C - e - 2 i p x ℏ + i p ℏ C - * C + e 2 i p x ℏ

= i p ℏ C + 2 - C - 2 - C + * C - e - 2 i p x ℏ + C - * C + e 2 i p x ℏ

Agora vamos fazer ∂ Ψ * ∂ x Ψ , temos:

∂ Ψ * ∂ x Ψ = ∂ ∂ x C + * e - i p x ℏ + C - * e i p x ℏ e i E t ℏ ⋅ C + e i p x ℏ + C - e - i p x ℏ e - i E t ℏ

- i p ℏ C + * e - i p x ℏ + i p ℏ C - * e i p x ℏ e i E t ℏ ⋅ C + e i p x ℏ + C - e - i p x ℏ e - i E t ℏ

= - i p ℏ C + 2 + i p ℏ C - 2 - i p ℏ C + * C - e - 2 i p x ℏ + i p ℏ C - * C + e 2 i p x ℏ

= i p ℏ - C + 2 + C - 2 - C + * C - e - 2 i p x ℏ + C - * C + e 2 i p x ℏ

Passo 4

Agora vamos subtrair as duas expressões que encontramos.

Ψ * ∂ Ψ ∂ x - ∂ Ψ * ∂ x Ψ

= i p ℏ C + 2 - C - 2 - C + * C - e - 2 i p x ℏ + C - * C + e 2 i p x ℏ -

- i p ℏ - C + 2 + C - 2 - C + * C - e - 2 i p x ℏ + C - * C + e 2 i p x ℏ

= i p ℏ 2 C + 2 - 2 C - 2

Colocando em nossa expressão, temos:

j ( x , t ) = ℏ 2 m i i p ℏ 2 C + 2 - 2 C - 2

= p m ( C + 2 - C - 2 )

Onde temos que v = p / m , assim:

j ( x , t ) = v ( C + 2 - C - 2 )

Resposta

ρ = C + 2 + C - 2 + 2 R e C + C - e 2 i p x ℏ

j ( x , t ) = v ( C + 2 - C - 2 )

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