Exercícios de Equação de Schrödinger - Lista de Exercícios Resolvida

A indeterminação da posição de um elétron situado sobre o eixo é , ou seja, um valor aproximadamente igual ao raio de um átomo de hidrogênio.

Qual é a menor indeterminação possível da componente do momento do elétron?

Considere uma partícula deslocando-se em uma dimensão, que chamaremos de eixo .

1. O que significa para a função de onda dessa partícula ser normalizada?
2. A função de onda , onda é um número real positivo, é normalizada? Essa função poderia ser válida?
3. Se a partícula descrita pela função de onda , onde e são números reais positivos, estiver confinada ao intervalo , determine (inclusive suas unidades) de modo que a função de onda seja normalizada.

Mostre que a Eq.38-17 é uma solução da Eq.38-16 substituindo e sua derivada segunda na Eq.38-16 e observando que o resultado é uma identidade.

Dados:

Equação 38-16 (Equação de Schrödinger, partícula livre):

Equação 38-17:

Um átomo em um estado metaestável possui vida média igual a .

Qual é a incerteza na energia do estado metaestável?

Uma partícula deslocando-se em uma dimensão (o eixo ) é descrita pela função de onda

Onde , , e o sentido positivo do eixo aponta para a direita.

1. Determine de modo que a função de onda seja normalizada.
2. Faça o gráfico da função de onda.
3. Calcule a probabilidade de se encontrar essa partícula em cada uma das seguintes regiões.
   1. Até da origem
   2. Do lado esquerdo da origem (você pode adivinhar a resposta olhando para o gráfico da função de onda?).
   3. Entre e .

Um cientista descobriu um método para isolar partículas individuais.

Ele alega que seu método permite a medida simultânea da posição da partícula ao longo de um eixo com um desvio-padrão de e a medida do componente do momento linear ao longo do mesmo eixo com um desvio-padrão de .

Use o princípio da incerteza de Heisenberg para verificar a validade dessa alegação.

A função da Eq.38-19 descreve uma partícula livre para a qual supusemos que na equação de Schrödinger (Eq.38-15).

Suponha que , onde é uma constante.

Mostre que a Eq.38-19 continua a ser uma solução da equação de Schrödinger, mas o valor do número de onda angular da partícula passa a ser dado por:

Dadas:

Equação 38-19

Equação 38-15 (Equação de Schrödinger, movimento unidimensional)

O Princípio da Incerteza de Heisenberg afirma que:

1. Apenas o momento e a velocidade podem ser medidos com precisão ilimitada.
2. A trajetória de uma partícula pode ser definida com precisão ilimitada usando a mecânica quântica.
3. Nada é menor que a constante de Planck
4. Momento e a posição de uma partícula não podem ser medidos simultaneamente com precisão ilimitada.
5. Momento ou a velocidade, mas não ambos, podem ser medidos com precisão ilimitada.
6. Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

1. Mostre que os termos da equação de Schrödinger (Eq.39-18) têm a mesma dimensão.
2. Qual é a unidade desses termos no SI?

Dado:

Equação 39-18

Onde é a função de onda, é a massa de uma partícula, é a constante de Planck, é a energia mecânica total e é a energia potencial da partícula.

O Princípio da Incerteza de Heisenberg afirma que:

1. Apenas o momento e a velocidade podem ser medidos com precisão ilimitada.
2. A trajetória de uma partícula pode ser definida com precisão ilimitada usando a mecânica quântica.
3. Nada é menor que a constante de Planck
4. Momento e a posição de uma partícula não podem ser medidos simultaneamente com precisão ilimitada.
5. Momento ou a velocidade, mas não ambos, podem ser medidos com precisão ilimitada.
6. Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Considere o movimento unidimensional de uma partícula em que a incerteza na medida de sua posição seja igual a , onde é o comprimento de onda de de Broglie associado.

Determine a mínima incerteza relativa na medida do momento desta partícula, efetuada simultaneamente à medida da posição.

Uma partícula de massa executa oscilações em uma reta em torno de sua posição de equilíbrio em , sujeita a um potencial harmônico dado por , com e uma constante. A função de onda do estado fundamental da partícula é

onde e são constantes positivas.

1. Calcule e a energia do estado fundamental do oscilador, em termos dos parâmetros dados: , , e .
2. Calcule a constante .
3. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula na região .

Um determinado íon possui apenas um elétron orbitando o núcleo, preparado em uma dada configuração. A incerteza obtida em medidas da componente da posição desse elétron é . Determine a relação de incerteza válida para a componente da velocidade desse elétron.

a) .

b) .

c) .

d) .

Uma partícula de massa e energia que se move da direita para a esquerda incide sobre a barreira de potencial mostrada na figura

(a) Qual a função de onda na região ?

(b) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região () e determine a solução geral nessa região

(c) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região () e determine a solução geral nessa região

(d) Escreva as condições de contorno que as funções de onda determinadas nos trechos , e devem satisfazer. Determine o sistema de equações que as constantes arbitrarias contidas nas soluções da equação de Schrödinger satisfazem (não é necessário resolver o sistema)

Uma partícula de massa e com energia potencial move-se ao longo do eixo . A função de onda do estado estacionário (estado com energia bem definida) em que a partícula se encontra é dada por

onde , e são constantes positivas e reais.

Forneça suas respostas em termos de , , e

(a) Qual é a energia dessa partícula?

(b) Calcule a constante

(c) Determine

(d) Calcule (valor médio do quadrado da posição)

(e) A incerteza na posição da partícula é dada por . Sabendo-se que para este sistema , determine a incerteza mínima na medida do momento da partícula.

Um laser dispara pulsos ultracurtos de tamanho de , com comprimento de onda médio de .

A energia de um fóton dentro desse pulso é dada aproximadamente por

Considere a função de onda independente do tempo dada por

onde e são constantes positivas e é a constante de normalização.

1. Calcule .
2. Qual é a probabilidade de encontrarmos a partícula na metade positiva do eixo ?
3. Qual é o valor médio da posição da partícula?

(i) Estime o valor da incerteza mínima na velocidade de um elétron não relativístico que está confinado em um poço de potencial unidimensional de largura igual a m. Dado: massa do elétron .

Uma partícula de massa m está confinada em um poço de potencial infinito (“caixa unidimensional”), ou seja,

a) Resolva a equação de Schrödinger para encontrar os valores quantizados de energia (autovalores de energia) e as respectivas funções de onda associadas (autofunções).

b) Normalize a autofunção para o n-ésimo estado de energia. Mostre assim que, independente do nível, a constante de normalização vale .

c) Faça um esboço da densidade de probabilidade para as autofunções associadas aos três primeiros níveis de energia.

d) Estando a partícula no nível, qual é a probabilidade de que seja encontrada em alguma posição entre e ?

Considere as seguintes afirmações:

1. Uma das hipóteses de Bohr para tratar do átomo de hidrogênio é a quantização do momento linear em termos da constante de Planck.
2. Pelo princípio da incerteza de Heinsenberg, é impossível medir, com uma dada incerteza, o momento linear de uma partícula.
3. O modelo de Rutherford para o átomo é dado por uma estrutura nuclear compacta e densa, de dimensões muito menores que a do tamanho do átomo.

1. Apenas é verdadeira.
2. Apenas é verdadeira.
3. Apenas é verdadeira.
4. Apenas e são verdadeiras.
5. Apenas e são verdadeiras.
6. Apenas e são verdadeiras.
7. Todas as afirmativas são verdadeiras.
8. Nenhuma afirmativa é verdadeira.

A função de onda do estado fundamental de uma partícula numa caixa unidimensional com paredes intransponíveis é dada por , para e nula em qualquer outra região.

Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada entre e .

Dado:

Em um determinado sistema quântico, os níveis de energia de um elétron são dados pela expressão , com assumindo os números naturais

Qual deve ser o comprimento de onda de um fóton incidente para o elétron efetuar uma transição do estado fundamental para o 2° nível excitado?

B -Sobre a Mecânica Quântica é falso que:

1-( ) A equação de Schrödinger é um dos postulados.

2-( ) Obtém-se o valor de uma grandeza física em um estado bem definido aplicando o operador da grandeza à função de onda do estado.

3-( ) A função de onda plana, solução da equação de Schrödinger, representa uma partícula em uma posição bem definida.

4-( ) As funções de onda precisam ser normalizadas.

5-( ) As funções de onda de um sistema físico precisam tender a zero se a variável de posição tende a infinito.

Considere uma função de onda de uma partícula dada por , para , , para e , para outros valores de .

Determine o valor de para o qual a função de onda da partícula fique normalizada.