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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 4

04. Os operadores de paridade P ^ e de translação por a , T ^ a em uma dimensão, são definidos por

P ^ φ x = φ - x ,       T ^ a φ x = φ ( x + a )

Calcule os hermitianos conjugados de P ^ e de T ^ a .

Passo 1

Vamos para mais! Vem comigo que vamos resolver esse problema.

Para encontrar o conjugado hermitiano desses operadores vamos considerar dois

| x e | x '

E vamos usar a seguinte propriedade em relação a conjugado hermitiano, dada por:

a  b * = b  + a

E vamos usar a seguinte propriedade para variáveis contínuas

x | x ' = δ ( x - x ' )

Nós vamos “sanduichar” nosso operador com aqueles estados que mencionei e ir manipulando até achar o conjugado hermitiano.

Passo 2

Vamos primeiro lidar com P ^ , vamos fazer o seguinte:

x P ^ x '

= x | - x '

Pelo o que vimos no passo 1 isso é igual a

δ ( x + x ' )

Passo 3

Agora vamos fazer o seguinte cálculo:

x ' P ^ x *

= x ' | - x *

= - x | x '

Assim temos que:

δ - x ' - x = δ x ' + x

Logo temos que P ^ = P ^ +

Passo 4

Agora vamos lidar com o operador T ^ a

vamos fazer o seguinte:

x T ^ a x '

= x | x ' + a

Pelo o que vimos no passo 1 isso é igual a

δ ( x - x ' - a )

Passo 5

Agora vamos fazer o seguinte cálculo:

x ' T ^ a x *

= x ' | x + a *

= x + a | x '

Assim temos que:

δ x + a - x ' = δ x - x ' + a

Logo temos que T ^ a + = T ^ - a .

Resposta

P ^ = P ^ +

T ^ a + = T ^ - a

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